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1、无穷小比较的意义与应用科技信息高校理科研究无穷JJII'E较昀意义与应用曲靖师范学院数学与信息科学学院黄丽云[摘要]本文分析了无穷小比较的意义,以及无穷小比较在计算极限,判别级数和反常积分的敛散性中的应用.[关键词]无穷小比较级数的敛散性无穷积分的敛散性瑕积分的敛散性0.引言《数学分析》和《高等数学》课程中极限部分的最后一节内容都是关于无穷小的比较,但在这一章的教学和学习中,人们往往把重心放在极限理论和计算上,而不太重视对无穷d,tZ较的理解.事实上,这个内容对极限计算和部分后续内容,如级数的敛散性判
2、别与反常积分的敛散性判别,都有着重要的意义,往往是求解那些问题的突破口.尤其是对于级数敛散性和反常积分敛散性的判别,学生常感到难于掌握其方法和原理,这与不理解无穷小比较的意义,不能灵活运用无穷小比较是有很大关系的.无穷小的比较描述了函数(或数列)收敛于0的快慢程度,而极限或级数,反常积分的敛散性就与所涉及到的函数(或数列)的收敛快慢有着密切的关系.以函数为例,设函数f(z)与g(x)在U(a)上有定义,且(z)≠0.当z一时,它们都是无穷小量.其中,a可以是有限实数,+c.,一c.或∞.(1)若0(或
3、景(2O),则称,(z)是g(z)一a)的高阶无穷小量(或g(x)是厂(z)一)的低阶无穷小量).所谓"高阶",就是当一日时,f(x)收敛于0的速度比g(x)收敛于0的速度更快.,f1(2)若等=be0,则称f(x)与g(x)(x--~a)是同阶无穷小6,,量.所谓"同阶",就是f(x)与g(x)(x--~a)收敛于0的速度"差不多".,,,特别地,若lim=1,则称f(x)与()一口)是等价无穷小—gkx)量,记作,(-z)～g(z)一日).所谓"等价",就是f(x)与g(z)一)收敛于0的速度"基
4、本相同".根据无穷小收敛于0的快慢程度,我们可以对无穷小作分类.以z一O)为标准无穷小,若f(x)与(口>0常数)是同阶无穷小,即,,,lim=b≠o,称厂(z)是关于x的a阶无穷小.显然,所有关于x的aZ阶无穷小函数收敛于0的速度都"差不多".通过分类,我们可以对各个无穷小的收敛速度有一个基本的把握,这对于讨论函数(或数列)极限,以及判别级数和反常积分的敛散性是很有意义的.1.无穷小的比较在极限计算中的应用在计算乘积或商的极限时,如果因式的形式较复杂,不便讨论极限,可以用它的等价因式进行替换,
5、以便于计算.定理1若函数_厂(_zz,z(z)一口)是无穷小,而_厂(-z)—笞(z烈z卜(z—),当存在时,则觋=觋.其中,a可以是有限实数,+..,一∞或∞.定理1说明,由于等价无穷小的收敛速度"基本相同",用等价因式替换,不会影响极限.记住一些常见的等价无穷小,会有利于我们运用定理1计算极限.当z_+0时,有口Llln口j再一1～考,(1+z)一1～,1--COS卜1例求极限鲰.li—m.tanrct(1an+2x)=lira.=-~=吾.例2求极限.解:当—o时,有√I一1～罢z,sin～,于
6、是蛳=嘉=丢=..通过等价无穷小的替换,可以化简函数形式,方便计算极限.2.无穷小的比较在判别正项级数的敛散性中的应用判别级数的敛散性是级数求和的前提,也是级数研究的基本问题之一,但是,从定义出发能确定敛散性的级数很少.因此,有必要探讨其它的敛散性判别法.以正项级数为例,统观其各种敛散性判别法,基本思想都是比较原理.即一个正项级数和某个收敛级数比较,"更可能"收敛,则该级数必收:敏;一个正项级数和某个发散级数比较,"更可能"发散,则该级数必发散.其中关于"更可能"的判断主要是通项的状况.当一∞时,若通
7、项不是无穷小量,则级数必发散;若通项是无穷小量,则判断的关键是通项的无穷小比较.于是,有下面的定理.定理2两个Ⅱ≥页级数和tJ≠0),且liraUn=觑o≤+..).'—:_+c."17(1)若级数∑收敛,K0_<k<+ov,则级数∑‰也收敛;(2)若级数∑发散,且0<k<+zo,则级数∑也发散.定理2表明,级数通项的敛散快慢程度与级数的敛散性有密切关系.因此,要判断级数的敛散性,恰当地选择一个敛散性已知的正项级数∑,二者作比较,即可判定∑的敛散性.设数列{unt与Iv.}是无
8、穷小量(一.c),若l
9、m:觑O<<+c.),即数列t.o}与{vo}是同阶无穷小量,级数与,同敛散性;若liraUn=:0,'-'-—...即数列u}是{v}的高阶无穷小量,由级数E收敛可得级数∑也收敛;若1.mU__Sn::+∞,即数列tuo}是iv.}的低阶无穷小量时,由级数∑发散可得级数也发散.常用于作为比较对象的级数有几何级数和P级数.事实上,柯西判别法和达朗贝尔判别法就是以几何级数为比较对象的结果.若以P级数为比较对象,根据通项u
