子群几种广义正规性质和有限群结构

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1、摘要有限群的结构与其子群的某种正规性的关系一直是有限群论重要的研究课题之一。群论学家们不仅给出了各种各样的广义正规性的概念，而且获得了大量的研究成果，这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用。本文持续了这方面的工作，利用某些正规性建立了关于有限群的(矿)幂零性和(p)超可解性的各种条件，对有限群的(矿)幂零性和(p)超可解性进行了刻画。全文分为五章。第1章，给出常用的符号、概念以及若干有用结论。第2章，研究覆盖远离子群和半伊覆盖远离子群与有限群结构之间的关系。一方面，我们利用某些特殊子群(如，Fitting子群，极大子群等)的覆盖远离性质刻画了有限群的超可解性，得到了一系列

2、的充要或充分条件，这些工作的创新之处就是从各个不同危度，通过恰当选择尽可能少的具有半覆盖远离性质的子群来刻画有限群的超可解性，许多已知的结果被推广。特别地，我们还把类似结论推广到饱和群系中得到关于A．群的一些刻画，同时也给出了关于偶阶QCLT-群的超可解性的刻画。另一方面，我们利用某些子群的覆盖远离性质，通过限制有限群和D型群的关系得到了一系列关于有限群幂零性的结果。最后，我们利用Fitting子群和极小子群的半矿覆盖远离性质也刻画了有限群的超可解性和p幂零性。本章实际上是郭秀云等人工作的继续，其中部分结果在JournalofPureandAppliedAlgebra，213

3、(2009)上发表。第3章，主要利用素数幂阶子群的织性质研究有限群的(p)超可解性和步幂零性。在P．Cs5r95、M．Herzog和M．Asaad等人的研究基础上，我们进一步推进了子群的澎．性质和有限群结构的关系。P．Cs5r95和M．Herzog曾利用极小子群的澎．性质刻画了有限群的超可解性，在此我们发现极小子群的织性质同样可以有效的刻画有限群的幂零性质。而进一步，我们给出了2一极大子群的形性质对有限群结构的影响。最后，我们扩展了M．Asaad的部分结果，利用Fitting子群中的某些极大子群再次刻画了有限群的超可解性和幂零性，而且将其推广到饱和群系中，得到有限群属于包含超

4、可解群系的饱和群系的充分条件。本章的部分结果已被AlgebraColloquium录用。第4章，由于一个群的某类子群不一定全是“半矿覆盖远离子群”或者全III西雨大学博士学位论文是“职子群”，有例子说明可能只有一部分是“半P覆盖远离子群"，一部分是“织子群”。因此，本章研究“半p覆盖远离子群"和“形子群"两者都出现时对群结构产生的影响，得到了一些重要的结论，这些结论涵盖了许多已知的著名结果，如[1】，【2】和f31中的许多结论可以由我们的结果直接得到。本章结果已投稿在较高级别的专业期刊上。第5章，本章主要对具有乒s．补的子群进行了进一步的研究，尤其是利用具有p幂零8．补的某些

5、素数幂阶的极小子群和极大子群充分或充要地刻画了群的p幂零性。如：如果P为群G的阶的素因子且满足(ICl，P～1)=1，P∈Sylp(G)。则G是p幂零群当且仅当尸的每个极大子群在G中有p幂零s一补。关键词：覆盖远离子群；半p覆盖远离子群；织子群；Fs一补；(p-)幂零群；(p)超可解群。IVAbstractResear(-hontherelationshipsbetweentilestructureofafinitegroupanditssubgroupshavingcertainpropertiesofsomekindsofnormalityaxealwaysoneofth

6、eilnportanttopicsinthestudyingoffinitegroups．Atthepresent，notonlysomenewconceptshavebeenintroducedbutfruitfulresultshavealsobeenobtained．Theachievementsofthistopicinnormalityhaveindeedpushedforwardthedevelopmentsofgrouptheory．Inthisdissertation，thistopiciscontinuedandvariousconditionson(p-)

7、nilpotency,(p-)super-solvabilityand(p-)solvabilityafinitegroupuponSOlIlekindofnormalityareestablished．Someconditionsarecharacterizationsof(p-)nilpotency,(p-)super-solvabilityor(p-)solvability．Thedissertationconsistsoffivechapters．InChapter1，someusefulnot