弱次正规子群和有限群的可解性.pdf

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1、第44卷第16期数学的实践与认识Vl01．44．No．162014年8月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYAug．，2014弱次正规子群和有限群的可解性李士恒，梁登峰，(1．郑州航空工业管理学院数理系，河南郑州450015)(2．北京工商大学理学院，北京100048)摘要：如果群G有次正规子群使日G且ⅣnKqqG，那么子群日被称做群G的弱次正规子群．利用极大子群Sylow子群或Sylow子群正规化子的子群的弱次正规性得到了一些关于有限群的可解性结论．关键词：有限群；弱次正规；几乎正规；弱c一正规；极大子群1引言和符号文【1]介绍了C一正规子群的概念并且用这个概

2、念刻画了有限群的可解性以及超可解性．随后f2—31等把这个概念推广为几乎正规、弱c一正规等概念，并取得了一系列关于有限群的可解性结论．本文我们对这些概念继续推广，得到了弱次正规的概念．即使所有的子群都是弱次正规子群这个群也不一定是超可解的，例如A，所以这个概念一般情况下只能刻画群的可解性而不能刻画超可解性．极大子群在有限群可解性(超可解性)的刻画里面有很重的作用，例如文【1—2]等都对群的极大子群或Sylow子群的极大子群的某些正规性进行了研究得到了关于可解或者超可解的结论．本文中，我们也对极大子群和Sylow子群的相关子群的弱次正规性进行研究得到了关于可解性的一些结论．本文中，丌是一

3、个素数集合，G是一个群，所有的群都是有限群．如果数礼的每一个素因子都在7r中，我们称n是一个7r．数．H

4、规，如果存在KG使HKG且日nKGi引．收稿日期：2012．04—06资助项目：国家自然科学基金(11171364)；北京工商大学青年教师科研启动基金(QNJJ2011—50)通信作者16期李士恒，等：弱次正规子群和有限群的可解性2313)称日为G的条件c一次正规子群，如果存在KG使HKG且HnKHsG[7]_定义2[]圈积：对于群，我们把由所有函数∑一，∑={1，⋯，凡)，所做成的集合看作一个群，其乘法按照点来定义为：对所有的i∈E及01，CL2∈L有i虮眈=i眈其中。表示0的第i个位置上的元素，=1，2．圈积L2表示关于的半直积：如果8∈Sn，n∈L”，那么对所有的∈∑有i0s=(

5、i)。．此外，对UL记”的子群为【={n∈UlJ。=1，当J≠)．特另0，L=L1×···XL．下面是我们给出的新定义：定义3设G为有限群，HG．如果存在G的次正规子群使HG且ⅣnK司G，那么子群H被称做群G的弱次正规子群．这时也称日弱次正规于G，为在G中的弱次正规补．由定义3可见，弱次正规子群是弱c一正规子群、几乎正规子群和条件C一次正规子群的一个推广．下面举例说明弱次正规子群不是弱c一正规子群、几乎正规子群或条件c一次正规子群．例1设T=(5次对称群)，N=A5，L=(12)，则T=N)日L．设G=T2Sa，H1={n∈N。I1。=2。，3。=1)={(n，礼，1)I礼∈Ⅳ)，H：

6、Ha×L3={(礼，佗，口)ln∈N，口∈)．显然Hsc=1，Ⅳ。为G的极小正规子群．日Ⅳ2Na=N。L3qqG且日nⅣ2Ⅳ3=1．于是日是G的弱次正规子群．下面证明不存在次正规子群使日G且日Hsc=1．否则，由正规闭包日G包含G的极小正规子群Ⅳ。和HG。=L。得HKT。．于是，。=。nHK=H(T。n)．而。n明显为G的次正规子群．设0nK=K1，则K1为。的次正规子群且K1nH=1．因此，1必包含Ⅳ1Ⅳ3或Ⅳ2Ⅳ3，但不能同时包含Ⅳl和Ⅳ2．不失一般性，可设K1N1Ⅳ3．于是Ⅳ2nKx=1．由文[9]得ⅣG(1)N。，从而[1，N2】K1．又[1，Ⅳ2][T。，Ⅳ2]=[T2，Ⅳ2

7、]Ⅳ2，所以【1，Ⅳ2]K1nⅣ2=1．因此，从I乃死⋯14得K1=T1ra，这时1nHL3>1，与日nK=1矛盾．因此，日是G的次正规子群而不是G的正规子群，从而H不是G的弱C一正规子群、几乎正规子群或条件c一次正规子群．例2设T=st2(5)，N=2(5)，Z=z()，G=2&．则z(T。)=Z0={(1，Z2，2：3)1z{∈Z，i=1，2，3j，。N2s3，T。／z。为c／z。的极小正规子群．由文[5】得的Sylow2一子群为8阶四元数