有限群的几乎次正规子群与可解性.pdf

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1、有限群的几乎次正规子群与可解性口邱招丰(浙江温州市职业技术学院浙江·温州325035)摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。关键词：几乎次正规子群可解群有限群中图分类号：O152文献标识码：A文章编号：1007-3973(2012)o01．100-02在群论中，人们常常利用有限群G的子群的性质来研究T,o司G几即H厂1r在G厂r中几乎次正规。反之若H／T在G／T中原群的结构。1996年王燕鸣引进了c一正规的概念，称有限群几乎次正规，那么存在sfr,~

2、-正规的，如果存在G的正规子群K，使且(S／1r)n(H厂r)=SOH／T

3、则N．N／N司司G／N。规子群的概念，称有限群G的子群H在G中几乎正规，如果(3)若Kq司G，p∈JI(G)，则对任意G∈Sylp(G)，有KnG∈存在G的正规子群N，使得NH和NnH都是G的正规子群。Sylp(K)。本文将引入一个比s一正规和几乎正规更加广泛的概念——几从而有H包含G的某个Sylowp-子群，则KnH包含K乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的的某个Sylowp．子群。结构。文中的所有群皆为有限群，Soc(G)表示G的基柱；HqG引理4如果H是G的次正规子群，那么Sot(G)≤N。(H)。表示H是G的正规子群；Hq

4、引理5设G为有限群，M为G的极大子群。如果M是H≤G表示H是G的子群；H

5、子群N，使得NH和NnH都是G的次正规2主要结果子群。定理l设G为有限群，G的任一极大子群在G中几乎次注：显然s．正规子群，几乎正规子群和次正规子群一定是正规，则G为可解群。几乎次正规子群。但反之不真。事实上，设G=S为四次对称证明如果G的任一极大子群在G中指数均为素数，由文群，Hl={(1)，(1，2，3)，(1，3，2))是G的几乎次正规子群，但不是G献【4】下册p59得G为超可解群，故G为可解群。的s．正规子群，也不是G的次正规子群。H：={(1)，(1，2)，(3，4)}设M为G的有合数指数的极大子群，由题设知存在G的是G的几乎次正规子群，但不是G的几乎正规子群。次正

6、规子群K使得MK和MnK均为G的次正规子群。由为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。极大性知必有M=MK或MK=G。若M=MK由引理5得M引理1若群G的子群H在G中几乎次正规，是G的正规子群并且IG：MI是素数，这与假设矛盾，所以MK=(1)K是G的子群并且H≤K，则H也K是的几乎次正规G，由文献[81~nG是可解群。子群。定理2设G为有限群，若G的所有2一极大子群在G中几(2)T是G的正规子群且T≤H，则H／T在G／T中几乎次乎次正规，则G为可解群。正规当且仅当H／T在G／T中几乎次正规。证明假设定理不成立，设G为极小阶反例。由定理1和证明(1)H在G中几乎次正规，

7、那么存在N司司G使得引理1(1)即可得到G的任一极大子群都是可解的，故G是内HNq司G且HnN司qG。注意到KnN司qK，我们有【KnN)可解群。HNHNKq