有限群的弱拟正规子群

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1、2006年11月重庆大学学报(自然科学版)NOV．20o6第29卷第11期JournalofChongqingUniversity(NaturalScienceEdition)Vo1．29No．1l文章编号：1000—582X(2006)¨一Oll9—03有限群的弱拟正规子群赵振华，肖志祥(I．重庆工学院数理学院，重庆400050；2．重庆大学数理学院，重庆400030)摘要：群G的一个子群日称为弱拟正规的，若对G的任意子群，至少存在一个K的共扼子群，∈G，使得=日．研究了某些子群的弱拟正规性对群构造的影响，并得到了一些结果．关键词：弱拟正规群；超可解群；Fitting子群；群系

2、中图分类号：O152．1文献标识码：AEG，使得HK~=H．1引言引理1[6若群G的子群在G中弱拟正规，则对本文讨论的群都是有限群，概念均如文献[1]中任意的ⅣqG，删在G中弱拟正规，HN／N在G中弱是标准的+通过研究某些子群的性质来得到群结构的拟正规．信息一直是一个令人关注的课题．Buckley在文献[2]定义2¨¨群G的一个子群Ⅳ称为s一拟正规中给出t如果一个奇阶有限群G的任一Sylow子群的极小子群在群G中正规，那么群G是超可解的．Srini．的，若日与G的所有Sylow子群可交换．vasan在文献[3]中得到：如果有限群G的任一Sylow引理2群Ⅳ和D都是群G的正规子群，

3、D≤子群的极大子群在群G中正规，那么群G是超可解Ⅳ，D≤(G)．如果Ⅳ是幂零的，那么N／D也是幂零的．随后，许多学者通过减弱正规性或缩小极大与极小的．子群的数目来研究群的结构，譬如“和Guo在文献引理3¨设是包含的饱和群系．设群G存[4]和文献[5]中将C一正规性和可补性限制在可解在一个可解正规子群Ⅳ，使得GIN∈如果F(Ⅳ)的群的Fitting子群的极大和极小子群上也得到了同样的结论．现在，通过弱拟正规性来研究某些子群对群结任意Sylow子群的极大子群在群G中s一拟正规，那构的影响．Qian和Zhu在文献[6]中通过用弱拟正规么G∈性来代替正规性推广了Buckley和Srini

4、vasan_3的结引理4[4群N(N≠1)是群G的可解正规子群．果，Zhong在QionandZhu研究的基础上又得到了如果群G的包含在子群Ⅳ中的每个极小正规子群不一些推广的结论．在本文中，作者利用弱拟正规性给出包含在(G)中，那么(，v)是包含在』v中的G的极了类似文献[4]和[5]中的限制，并把研究推广到群小正规子群的直积．系的框架中而得到了一些结果．引理5【1令少是包含超可解群类的群系．如果群G2预备知识存在一个循环的正规子群Ⅳ，使得GINE则GE一个群类称为～群系，若满足下列两个条3主要结果件：(1)若G∈57，则G的所有同态像也在中；(2)设Ⅳ司G，司G，若G／N∈，G

5、／M∈5r，则定理1设G为可解群，若F(G)的Sylow子群的G／(nN)E一个群系称为饱和群系，若极大子群在G中弱拟正规，则G超可解．G／4"(G)E，则G∈([8；Chapter1V])．在文证明假设定理不真，G为极小阶反例．有：中彩表示全体超可解群构成的群类．显然，彩是一个饱和群系([9；VI，P7。，])．(1)(G)=1．定义1群G的一个子群Ⅳ称为弱拟正规的，若否则，(G)≠1+于是存在一个素数P，使得对G的任意子群K，至少存在一个的共扼子群，p／I(G)I．由于(G)≤F(G)，则p／IF(G)I．令·收稿日期：2006—05—20作者简介：赵振华(1974一)，女，

6、湖南常德人，硕士，重庆工学院讲师，主要从事有限群方向研究120重庆大学学报(自然科学版)2o06年P。为(C)的一个Sylowp一子群，于是由P。char虑1

7、由于(C)nⅣ幂零，~llv,。P：／P。在G／P。中弱拟正规．令QP。／P。为F(c)／P。的C．由(G／P1)／(Ⅳ／P1)三G／N，有(G／P1)／(P1)ESylowq一子群(q≠p)的一个极大子群，则Q是5r．由引理2，可得F(Ⅳ／P)=F(N)／P1．令P2／Pl为F(C)的Sylowq一子群的一个极大子群．由假设Q：在F(N)／P．的SylowP一子群的一个极大子群，则P是C中弱拟正规，再次由引理，Q：P。／P。在G／P。中弱拟F(Ⅳ)的Sylowp一子群的一个极大