非正规子群阶的个数与有限群的结构

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1、南昌大学硕士学位论文非正规子群阶的个数与有限群的结构姓名：向建国申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：王燕鸣;李样明20071223摘要设G是有限群，J(G)表示群G的非正规子群的阶的个数．本文主要讨论了，(G)与群G结构之阅的关系．主要结论有；1．设G是非幂零群，则J(G)=1的充分必要条件是G=【NlP是裂扩张，其中Ⅳ是群G的正规子群且阶是素数g，尸是素数幂阶的循环P一群且【Ⅳ，中(P)】=l，素数P

2、1≥3，或P=2，撑≥4；(ii)G有一个同态像为D(S)；(iii)G兰0(16)．关键词：有限群；非正规子群；阶数ⅡAbstractABSTRACTLetGbeafinitegroup．Inthispaper，wedefineJ(G)tothenumberoftheordersofnon—normalsubgroups，asandwestudytherelationbetween，(G)asthestructureofthefinitegroups．Wegetsomemainresultsasf01lows：1．LetGbenon-nilpotent．ThenJ(G

3、)=l，ifandonlyifG=【NlPisaspiItextensionofanormalsubgroupNofprimeorderqbyacyclicP—groupP．Moreover，wehave【N，中(JP)】-1，andP

4、GhaveahomomorphD(81：(iii)G兰Q(161．KeyWoreds：finitegroup：non-normalgroup：order．Ⅲ学1t【e迁独创性卢明学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究：【：作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名(手写)：矗硅I虱签字日期：三静7年／二月哆日f学位

5、论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汀：编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。(保密的学位沦文在解密后适用本授权书)学位论文作耆签名：纫{菱j习聊虢夕彩，卿签字日期：五。h了年肛月。)日签字日期：函1年(≥月2)F1第一章引言群是现代代数中最基本和最重要的概念之

6、一，它在数学本身及现代科学技术的很多方面都有广泛的应用．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论上来看还是实际应用上来说都占据着更为突出的地位．它是近年来来研究最多，最为活跃的一个分支．群论的研究起源十八世纪末，它是由于方程式论的需要，首先作为置换群的理论而发展起来的．随后，发现在大多数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应注意的是一个集合在代数运算下的性质，从而提出了一般群的概念．一般群论的建立，不仅扩大了群论研究的对象和应用，而且还可以从各种不同的群得到多方面的启发，从而丰富了群论研究的方法，促进了群论的发展．子群、商群与算术结构是一个群的最基本的数学特征．通俗的说

7、就是通过群G的子群结构、商群结构和算术结构加条件来刻画群6的结构．很自然地，人们一般用正规子群来刻划群的结构．近些年来，许多学者利用非正规子群来研究群的结构．例如，若群G的非正规子群的个数为0，则G为Dedekind群，它的结构见[1]．用o(G1表示群G的非正规子群的共轭类数，在[2]中R．Brandl给出了v(a)=l的群的结构．设群G为幂零群，c(a)表示群G的幂零类数，在[3]中J．Poland和A．Rhemtulla给出了群G的幂零类c(G)与u(G)之间的一个关系式．用u‘(G)表示非正规循环子群的共轭类数，在[8]中李世荣给