阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群

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1、苏州大学硕士学位论文阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群姓名：张庆亮申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：施武杰20080401阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群中文摘要阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群中文摘要我们知道在有限群中类方程对群的结构有很大的影响，例如，可由类方程决定阶最小的单群A(见文【1】’62厕．如果把同阶的共轭类合在一起就得到了阶方程，即按阶相等作为等价关系划分群元素得出的方程．显然阶方程是群的一种粗划分．施武杰教授在文【2l中最早提出阶方程的概念．与阶方程相关的是著名的Thompson问题．有限群Gl与G2称为同阶型群，若I舰(G1)I=IM,

2、(G2)I，t=1，2，3，⋯，其中：舰(G)=扛∈G：∥=1)．Thompson问题；设G1与G2为同阶型群，若G1可解，那么G2是否也可解?Thompson问题自1990年由施武杰教授在文【3】中公开后，没有人给出证明，也没有人给出反倒，可见Thompson问题的解决将是十分困难的．本文第二章将根据阶方程来刻画某些特殊线性群如(2”)，其中m=2，3，4，5．本文第一章所用的术语回f1】，特别地，我们用死(G)表示群G的元素的阶的集合．型相同阶方程必相同，因此本文将有利于Thompson问题的解决．文阻7】研讨了最高阶(k阶)元素的个数IM(G)I对有限群的影响，证明了当IM

3、(G)I=2，2z+l，印，印2白素数)，IM(G)l<20时，G为可解群，最近对最高阶元个数的研究又有新的进展，姜友谊和钱国华老师在文【19】中得到了如下结果：最高阶元的个数为的6p的有限群可解，姜友谊在文【201中得到了。最高阶元的个数为1印的有限群可解．显然，同阶型群最高阶元的个数相同，因此文阻7】，【乓9，20】的研究有利于Thompson问题的解决．本文第三章继续上述工作，研讨了群G的最高阶元素的个数IM(G)l=28pX"hW-的影响．有叫竖群论专家对Thompson问题进行了颇有意义的研究，如施武杰教授在【8l中提出了猜想。设G为有限群，日为有限单群，则G笔H当且仅

4、当(1)丌e(G)=丌e(日)，其中孔(G)表示的阶的集合，(2)IGI=IHI．本文第四章将讨论与同阶型群密切相关的另—个问题，怎样的群可由其元阶型唯一确定?本章利用几种有限群的分类，证明了这几种群可由其元阶型唯一确定．显然在某个有限群可由其元阶型唯一确定的情况下，Thompson问题可得到一定程度的解决．关键词t阶方程，元素的阶，素图，元阶型，正规子群，同构，有限群，可解群．阶方程。元阶型，最高阶元的个数与有限群中文摘要II作者t张庆亮指导老师。施武杰(教授)阶方程，元阶型，最高阶元的个数与有限群AbstractTheInfluenceofOrderEquation，Type

5、ofElementOrderandTheNumberofElementswithMaximal0rderonFiniteGroupsAbstractWe。knowthatcl鹪8equationhasmuchinfluenceOnthestructureof五n毗groups．Forexample，elasaequationc眦determinethesimplegroupwithminimalorder，namelyA5．Ifweputtheeonjugcyclasseswiththe80,11aleorderinthesameplace，wecangettheorderequ

6、ation．Obviousely,orderequationisaroughdivisiontothegroups．ProI．ShiWujieposedthedefinition-oforderequation啦firstin【2】．ThefamousquestionofThompsoni8relat,edtoorderequal；ion．Let(71A．ndG2arefinitegroupsjifI舰(G1)l=IMt(a2)l，t=l，2，3，⋯，尬(G)={。∈G：矿=1)，thenwesayG1andG2alethe88,metypeotorder．Let6}landG2

7、II．1c_ethe黜typeoforder，ifGlissolvable，thenis岛alsosovable?Thatisthefamousquestion．Iti8憎yditticulttosolvetheopenquestion．．Thesecondeha．pt,erwillcharieterizez,2(2m)accordingtoorderequation．Iftypeisthesame，ordereqtuxtionisalsothesame．Sothestudyof