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1、高阶方程的降阶技巧目录一．高阶方程的引入及定义………………………………………………………1二．几类常见的可降阶的高阶微分方程…………………………………………2（一）型的微分方程………………………………………2（二）型的微分方程…………………………………………3（三）型的微分方程………………………………………4（四）二阶方程的幂级数解………………………………………………………5三．其他情况的高阶微分方程……………………………………………………7四．总结……………………………………………………………………………
2、12参考文献……………………………………………………………………………12高阶方程的降阶技巧摘要:对于高阶方程的解法问题，降阶是普遍的求解方法，利用变换把高阶方程的求解问题化为较低阶的方程的求解问题。对于不同高阶微分方程给出了相应的降阶方法。关键词:线性微分方程，降阶，非零特解一．高阶方程的引入及定义所谓阶,就是导数(或微分)的最高阶数.函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成了代数方程，通过求解代数方程解出未知函数.同样，如果知道自变量，未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程
3、，通过求解微分方程求出未知函数自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程.而高阶微分方程,即阶数大于二或者等于二的方程.一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般来说，低阶微分方程的求解会比求高阶的微分方程方便些。特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降阶法求得与它线性无关的另一个特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需再运
4、用常数变易法求出它的一个特解，问题也就解决了。因此，问题的关键就在于寻找齐次线性微分方程的一个非零特解。一些相关定义如果方程（1）的左端为y及的一次有理整式。则称（1）为n阶线性微分方程.不是线性方程的方程称为非线性微分方程.如果函数代入方程（1）后,能使它变为恒等式.则称函数为方程（1）的解.我们把含有n个独立的任意常数的解称为n阶方程（1）的通解.所谓n阶微分方程(1)的初值条件是指如下的n个条件:当时,这里是给定的n+1个常数,初值条件有时写为12求微分方程满足定解条件的解.二．几类常见的可降阶的高阶
5、微分方程二阶微分方程的求解：(一)型的微分方程特点:等式右端不含,仅是x的函数.解法:将作为新的未知函数,然后对原方程降阶,令,则有，方程两边同时积分得即再积分得同理对于,令,积分得:则原方程变形为n-1阶,对其继续积分得则方程变为n-2阶,如此连续积分n次即得原方程的含有n个任意常数的通解.例1解三阶方程:解:：等式两端同时积分再积分再积分12这就是所给方程的通解.(一)型的微分方程特点:右端不含y.解法:降阶.令代入原方程得:（2）若为如下一些一些类型,可分别求得（2）降阶式的解.i.通解:ii.,通解
6、:(方法两边同时除以,将拿到中,即)iii.令,则,即求出u与x的关系,再将u代回,即得答案.iv.若,则令若,则令再令,已上求得的解为.回代,得变量可分离的一阶方程,积分得12例2解:令，则,则方程变为:,因为,,则,因为,,所以所求特解为:.(一)型的微分方程特点:右端不含x.解法:降阶.令.由复合函数求导法则得:代入原方程得:这是一个关于y,p的一阶方程,若以求得它的通解为:变量可分离的一阶方程,积分得:即原方程得通解.例3求满足的特解解:令，则,则方程变为:即12分离变量得:,等式两端同时积分化简得
7、:,即,把时,代入上式得，则方程化为,分离变量得:积分得:将代入解得,故原方程的特解为:(一)二阶线性方程的幂级数解对带初值条件的二阶齐次线性方程这里,否则可引进新变量化为.有如下定理i.定理若方程中系数或能展成收敛区间为的幂级数,则二阶齐次线性方程有收敛区间为的幂级数特解或这里为待定常数.ii．n阶贝塞尔方程12(n为非负常数),有特解,.n阶贝塞尔方程有通解,其中为任意常数.(或)是由贝塞尔方程所定义的特殊函数,成为n(或-n)阶(第一类)贝塞尔函数.的定义:当时;当时且非整数.有性质:;对正整数n,有
8、一般情况(一)型的微分方程特点:不显含未知函数及.解法:令,则求得z,将连续积分k次,可得通解.(二)型的微分方程特点:右端不显含自变量x.解法:设,则12,…………代入原方程得到新函数p(y)的n-1阶方程,求得其解为:原方程通解为:(一)齐次方程特点:解法:可通过变换将其降阶,得新未知函数.,,代入原方程并消去得新函数z(x)的n-1阶方程例4求方程的通解.解:设,代入原方程,得,解得其通解为,原方程得通解为
