可降阶的高阶方程(I)

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1、§9.3可降阶的高阶方程1º形如y(n)=f(x)的方程例求方程的通解解对方程两边积分有再积分得再积分得再积分得方程的通解2º二阶可降阶方程二阶方程的一般形式:(1)不显含因变量的二阶方程(1)令,则,代入方程(1)有(一阶方程)例求方程的通解解这是一不显含因变量y的二阶方程令,则,代入方程有(伯努里方程)两边同乘p2得令得通解例有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索,两端固定,绳索在重力的作用下自然下垂,求该绳索在平衡状态下的曲线方程0xyMTmgH解如图建立坐标系在曲线上取一点M(x,y)(O)分析OM段上的受力情况自身重力:mg=ρsg(ρ是线密度,

2、s为的弧长)OMO点处的张力:H,M点处的张力:T由于绳索平衡在各方向上的合力为零在水平方向上:在垂直方向上:两式相除得(其中)又两边对x求导得(不显含因变量y的方程)初始条件:令,则,(可分离变量方程)代入方程有积分得令x=0,p=0c1=0,所以有再令x=0,y=0c2=a所以有例设兔子从点(1,0)出发,其运动速度大小为常数v,方向与y轴的正向相同,猎狗从原点(0,0)与兔子同时出发,以速度大小为2v追逐兔子,求猎狗的运动轨迹解y0x1B设猎狗的运动轨迹曲线为y=y(x)在时刻t,兔子位于A(1,vt),猎狗位于B(x,y),则据题意有又A两边

3、对x求导有(不显含因变量的方程)从题意知初始条件:令,则,代入方程有分离变量得积分得令x=0,p=0c1=1,两式相减得积分得令x=0,y=0得所以猎狗的运动轨迹为例一颗子弹以速度v0=200m/s打进一块厚度为0.1m的板,然后穿过板,以速度v1=80m/s离开板,该板对子弹运动的阻力与运动速度平方成正比,问子弹穿过板用了多少时间?解0x0.1设时刻t,子弹在木板中移动到x=x(t),子弹的质量为m根据牛顿第二定律有若记及注意到v(0)=200则速度v=v(t)满足下初值问题:(可分离变量方程)由v(0)=200设子弹穿透板的所用时间为T,则据题意又v(

4、T)=80于是有例已知二阶微分方程(二阶线性方程)的一个非零特解(x),试利用变换y=(x)z,求该方程的通解(P(x),Q(x)连续)解由y=(x)z,知代入方程有即令,则,方程转化为通解由得所以原方程的通解(2)不显含自变量的二阶方程(2)令,则代入方程有(关于p,y的一阶方程)例求解初值问题解方程是不显含自变量x的二阶方程令,则代入方程有(伯努里方程)令,得通解由x=0,y=1,p=1,代入方程有c1=0p=y或者p=y因为x=0,y=1,p=1,故p=y不合题意舍去故知p=y,即积分得由y(0)=1c=1,所以初值问题的解为