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1、1小结思考题作业型的方程型的方程型的方程5.5可降阶的高阶微分方程第5章微分方程应用2一、型的方程特点是未知函数y的n阶导数,且不含未知函数y及其两边积分……接连积分n次,右端是自变量x的一个已知函数,导数左端再积分得到含有n个任意常数的通解.3例求解方程解将方程积分三次,得最后得到的就是方程的通解.4二、型的方程特点方程缺y.解法将p作为新的则方程变为这是一个关于变量x,p的一阶微分方程.如果其通解为则由再积分一次,可求出原方程的通解设未知函数,5例解方程因方程中不含未知函数y,解令代入原方程,得p
2、的可分离变量的一阶方程由初始条件知C1=4,所以y的分离变量方程6再由初始条件知C2=1故所求解为7令求出通解后,只须作变换,再积分k次,即可求得原方程的通解.方程就可化为阶方程8例解方程解令则方程变为由分离变量法解得于是所以原方程的通解为积分4次可分离变量方程9求微分方程满足初始条件的特解.考研数学二,10分解令代入原方程,得一阶线性方程因方程中不含未知函数y,即于是故练习10求微分方程满足初始条件的特解.考研数学二,10分应取即解得故例11特点解法方程缺自变量x三、型的方程则方程变成这是关于变量y
3、,p的一阶方程.设它的通解为分离变量并积分,得通解为设12解代入原方程例可分离变量方程即可分离变量方程13微分方程满足条件的特解是或解可分离变量方程即练习注有些高阶方程也可用类似于“凑全微分”的方法求解.考研数学一,3分14例解该几何问题可归结为如下的微分方程的故所得曲线为相切的积分曲线.初值问题:两边积分,得两边再积分一次,得四、应用15上述两直线与x轴围成的三角形例过曲线y=y(x)上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以y(x)为曲边的曲边梯形面解于是设曲线y=y(x)
4、在点P(x,y)处的切线倾角为,求y=y(x)满足的方程.面积记为S1,积记为S2,16再利用y(0)=1得利用得两边对x求导,得初始条件方程化为利用初始条件得故所求曲线方程为初始条件17求微分方程的积分曲线,使该积分曲线过点且在该点的切线斜率为2.解方程代入方程,得所求积分曲线为练习18五、小结解法:通过代换将其化成较低阶的方程来求解.三种类型的可降阶的高阶微分方程19思考题解积分方程过曲线y=f(x)上点(x,f(x))处的切线考研数学一,8分方程为得切线在y轴上的截距求f(x)的一般表达式.2
5、0积分方程两边对x求导,即代入上式,得可分离变量方程微分方程21可分离变量方程分离变量并积分得再积分,得即为所求.22作业习题5.5(168页)
