几类可降阶的高阶微分方程

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1、第4章微分方程与差分方程1湘潭大学数学与计算科学学院在科学技术和经济管理等许多实际问题中，系统中的变量间往往可以表示成一个（组）微分方程或差分方程，它们是两类不同的方程，前者处理的量的离散变量，间隔时间周期作为统计的.动态是连续变量；而后者处理的量则是依次取非负整数值例如在经济变量的数据中就有很多以2湘潭大学数学与计算科学学院4.1几类可降阶的高阶微分方程四、小结一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程3湘潭大学数学与计算科学学院下面介绍三类可降阶的高阶微分方程的解法.二阶和二阶以上的微分方程统称为高阶微分

2、方程.有些高阶微分方程，可以通过自变量或未知函数的代换降低阶数，从而求出解来.4湘潭大学数学与计算科学学院一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程变量代换则5湘潭大学数学与计算科学学院例1解（此处6湘潭大学数学与计算科学学院例2解微分方程.解对方程两边积分得：再对以上二阶方程积分得最后对以上一阶方程积分，得通解为7湘潭大学数学与计算科学学院型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、则变量代换8湘潭大学数学与计算科学学院例3求解解令代入方程，得分离

3、变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为则9湘潭大学数学与计算科学学院三、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解变量代换则10湘潭大学数学与计算科学学院代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解设则例4求解11湘潭大学数学与计算科学学院解令代入方程，得积分得利用初始条件,则例5解初值问题12湘潭大学数学与计算科学学院故所求特解为积分得得根据13湘潭大学数学与计算科学学院四、小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令令则则14湘潭大学数学与计算科学学院思考与练习1

4、.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例515湘潭大学数学与计算科学学院练习题16湘潭大学数学与计算科学学院练习题答案17湘潭大学数学与计算科学学院作业18湘潭大学数学与计算科学学院