可降阶的高阶微分方程(I)

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第三十四讲常微分方程第七章常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的

2、和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.第三节几种可降阶的高阶常微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。这是变量可分离的方程，两边积分，得即只需连续进行n次积分即可求解这类方程，但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。例解例解这是一个一阶微分方程。设其通解为连续积分即可求解。例解两边积分，得即再积分，得原方程的通解例解分离变量，得积分，得连续积分4次，得原方程的通解为于是，原方程化为这是一个一阶微分方程。设其通解为这是

3、一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。例解于是，原方程化为两边积分，得运用分离变量法，得此方程的通解为综上所述，原方程的通解为例解什么类型？即从而即运用分离变量法求解此方程，即得原方程的通解：形如的方程称为克莱罗方程，其中函数f为可微函数。可以直接写出该方程的通解：并且由下列方程组可求得该方程的奇解：证将克莱罗方程两边关于x求导，得(通解)例解原方程即由题意这是一个克莱罗方程，故其通解为故原方程有奇解综上所述，原方程的通解为且方程还有奇解