有限群的结构与它的子群的性质.pdf

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1、浙江大学博士后研究工作报告工作完成日期：2Q5生鱼旦提交报告日期：2Q5生§旦浙江大学(浙江)2005年6月致谢本文是在合作导师李方教授、我国群论界前辈李慧陵教授及我的博士生导师王燕鸣教授的悉心指导和热情鼓励下完成的．在此我首先向他们表示衷一b的感谢!两年来，他们的关心，帮助和鼓励使我在代数的学习上不断取得进步并克服了生活中的困难．他们治学严谨，学识渊博，待人宽厚，具有令人敬佩的品格，是我为人、为师的榜样．感谢苏卅I大学的黎先华教授，他的无私的帮助和慷慨的指导使我受益非浅，工作前进极大．感谢我的老同学北京航空航天大学的袁运能教授，他一如既往地为我从北京复印了大量急需的文献．感谢美国Col

2、byCollege的T．R．Berger教授、德国UniversityofKiel的B．Stell—reacher教授、埃及CairoUniversity的A．A．Heliel博士、西班牙UniversidadPzlblicadeNavarra的L．M．Ezquerro教授、匈牙利UniversityofLorandEStvSs的P．CsSr95教授和相关杂志众多有名的编委和匿名的审稿人，我的工作离不开他们的帮助．感谢我的中山大学的师弟，师妹们：韦华全、刘晓蕾、王丽芳与张霞等，他们在讨论班上的精彩报告给了我不少灵感．感谢浙江大学数学系资料室的各位老师，她们不厌其烦地帮助我查印资料；感谢数

3、学系办公室的董胜鹤老师、韩冬老师，两年来他们一直关心和帮助着我．同时还要感谢浙江大学数学系为我提供了非常好的学习与研究环境，数学系浓厚的学术氛围和严谨的学风，给我留下了美好的印象．当然要感谢广东教育学院刘劲予院长，李龙图副院长等院领导们和数学系领导、同事们这些年来对我的关心、鼓励与帮助．最后，季晕特别感谢我的妻子艾颖、女儿李蔼瑜．感谢她们这些年来对我始终如一的理解与支持，谨以此文献给所有关心、支持和帮助过我的朋友们李样明2005年5月于浙江大学玉泉校区道中文摘要本文中所有的群均指有限群，G总是代表一个有限群，由Galois理论，我们知定理1．0．1设Ⅳ为一个域，，为K上次数为n的一个多项

4、式，且CharK不整除n!，则方程f(x)=0根式可解当且仅当，的Galois群为一个可解群．故在有限群理论中，判断一个群是否为可解群总是一个有趣的问题．给出可解群(超可解、幂零群、P幂零群，⋯)的特征一直是一个活跃的课题．通过给定G的子群一些条件来刻化群G的结构是一个有趣的方法。请看下列著名的定理；定理1．0．2(Thompson定理，[31)若有限群G有一个奇阶的幂零的极大子群则G是可解的．定理1．0．3(Huppert定理，【1])假设G的每个极大子群在G中的指数都是素数，则G是超可解．定理1．0．4(Hall定理，[4])群G的每个子群可补当且仅当G是一个g-+Sylow予群均为

5、初等交换的超可解群．顺此方向做工作，自然就有两个问题1．考虑G的怎样的子群?2．加什么条件?对第一个问题，通常人们考虑极大子群、极小子群(即素数阶子群)、4阶循环子群(对偶阶群而言)、Sylow-子群、Fitting子群、可解子群，。⋯⋯；对第二个问题，开始时人们假设子群在G的中心内或为G的正规子群．下列是一些有趣的经典结果．定理1．0．5(It6定理，[1])设G为奇阶群，若G的每个极小子群在z(G)中则G为幂零的．定理1．0．6(Buckley定理，【51)设G为奇阶群，若G的每个极小子群在G中正规，则G为超可解的．定理1．0．7(Srinivasan定理，[6】)若G的Sylow一

6、子群的每个极大子群在G中正规(拟正规)，则G为超可解的．许多作者开始这方面的工作，将上述结果大大推广了，给出了许多p_幂零群、幂零群、超可解群的特征．本文继续这方面的工作，事实上，我们的结果更宽泛，可用formation的理论来叙述．第l章．我们介绍了问题的背景，基本概念，总结了本文的结果第2章．称2为G的Sylow一子群的完全集，如果对Vp∈”(G)，z含有且仅含有G的一个Sylowp-子群，记为Gp．称G的子群日为G的2一可置换子群，若日与z中每个元可置换．z一可置换子群是”．拟正规子群的推广．在本章中我们获得下列结果：定理2．2．1设z为G的一个Sylow-子群的完全集，P=min

7、7r(C)．若G。∈z的每个极大子群都是G的z一置换子群，则G为P幂零的．定理2．2．3设z为G的一个Sylow-子群的完全集，P无关，岛∈z的每个2次极大子群都是G的z一置换子群min=(G)．若G与A4则G为P幂零的定理2．3．13设，为包含Ⅳ的饱和区，其中Ⅳ为幂零群类，Z为G的一个Sylow-子群完全集．设F+(Gy)nG2的每个4阶循环子群均为z一置换子群，则G∈厂可当且仅当F+(G伊)nGp中每个素数阶子群在z，(G)中，