正规子群和群基本同态定理.ppt

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1、群同态基本定理离散数学第14讲上一讲内容的回顾同构与同态循环群与生成元循环群的子群无限循环群与整数加群同构有限循环群与相应的剩余加群同构群同态的基本定理正规子群商群同态核自然同态群同态基本定理同态基本定理的应用正规子群的概念定义：群G的子群H是G的正规子群，当且仅当：对任意aG,Ha=aH。(记法：H⊴G)平凡子群是正规子群。阿贝尔群与正规子群阿贝尔群的任何子群一定是正规子群。Ha=aH的充分必要条件是：对任意hiH,aG，一定存在某个hjH，使得hia=ahj。(不是：对任意hiH,aG,一定有hia=ahi。)正规子群的例

2、子S3,即{1,2,3}上所有一一对应的函数构成的群：{e,,}构成正规子群。注意：H={e,}构成子群，但不是正规子群：H={,},而H={,}又一个正规子群的例子设G是群，定义G的子集H={a

3、aG,对任意bG:ab=ba}，则H是正规子群。H非空(显然单位元素eH)封闭性：a1b=ba1,a2b=ba2(a1a2)b=b(a1a2)子群：ab=baa-1b=a-1baa-1=ba-1正规子群：ab=ba(aH)Hb=bHH称为G的中心。正规子群的判定（1）设N是群G的子群，N是群G的正规子群当且仅当：

4、对任意gG,nN,有gng-1N。任取gG,nN,有n1N,使得：gn=n1g,因此：gng-1=n1N；先证明gNNg:任取gngN,已知gng-1N，可令gng-1=n1，则gn=n1gNg；类似可证：NggN。设N是群G的子群，N是群G的正规子群当且仅当：对任意gG,有gNg-1=N。正规子群的判定(2)设N是群G的子群，若G的其它子群都不与N等势，则N是G的正规子群。只需证明：gNg-1=N。首先证明：gNg-1是子群。封闭性:(gn1g-1)(gn2g-1)=gng-1子群判定条件2:(gn1g-1

5、)(gn2g-1)-1=(gn1g-1)(gn2-1g-1)=gng-1其次，因为其它子群都不与N等势，因此只需证明：gNg-1≈N。由消去率可得.正规子群的判定(3)设N是群G的子群，且[G:N]=2,则N是正规子群。注意：若gN,则由子群满足封闭性和消去律可知：gN=Ng=N若gN,则gN和Ng均不可能与N有公共元素，因此：gN=Ng=G-N。右陪集关系设H是群G的子群。定义G上的关系R如下：对任意a,bG,aRbiff.ab-1H实际上：aRb即：a与b在同一个右陪集中。aRbab-1Hab-1=hi,hiHaH

6、b右陪集关系是等价关系同余关系狭义的同余关系：例：对3同余:a≡b(mod3)iff.

7、a-b

8、/3是整数。等价类：1={…-3,0,3,6,9,…}2={…-2,1,4,7,10,…}3={…-1,2,5,8,11,…}“运算按照等价类保持。”aRb,cRdacRbd同余关系正规子群的陪集关系是同余关系设N是群G的正规子群，可以证明：若ap-1N,bq-1N，则(ab)(pq)-1N令ap-1=n1,bq-1=n2(n1,n2N)则:(ab)(pq)-1=abq-1p-1=an2p-1而N是正规子群，an2=n3a(n3

9、N)所以：(ab)(pq)-1=n3ap-1=n3n1N陪集的运算设H是群G的正规子群。在H的右陪集构成的集合上定义如下运算：Ha*Hb=H(ab)这里ab是指G中的运算。关于上述定义的合法性：运算结果是以右陪集的代表元素之间的运算表示的，运算结果必须与代表元素的选择无关。这一点由“H是正规子群”来保证。商群设N是群G的正规子群，(G/N,*)是群封闭性：*的定义保证。结合律：G的运算满足结合律。单位元素：N本身(注意：G的单位元素eN)逆元素：Na的逆元素是Na-1。(G/N,*)称为G的商群。同态核假设G1,G2是群，f:G1

10、G2是同态映射，定义集合kerf={x

11、xG1,且f(x)=e2},其中e2是G2的单位元素，kerf称为同态核。同态映射fG2的单位元素G2G1kerf同态核是正规子群kerf是G1的正规子群。非空：G1的单位元必在kerf中。子群：任取a,bkerf,则：f(a)=f(b)=e2;因此：f(a⃘b-1)=f(a)*[f(b)]-1=e2。正规子群：任取akerf,xG1,则：f(a)=e2;因此：f(x⃘a⃘x-1)=f(x)*f(a)*[f(x)]-1=e2。单同态代数系统(G1,⃘)与(G2,*)单同态当且仅当：存在一对一

12、的函数f:G1G2,满足：对任意x,yG1,f(x⃘y)=f(x)*f(y)假设G1,G2是群，f:G1G2是同态映射。f是单同态映射当且仅当kerf={e1},e1是G1的单位元设a