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《理想与同态基本定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、8.2子环、理想与同态基本定理定义8.2.1设S为环(R,+,x)的一个非空子集，若S对于加法+和乘法x仍构成一个环，则称S为环(R,+,x)的一个子环。任何环(R,+,x)都至少有两个子环：环R本身，以及只包含零元的集合{0}。称为环R的平凡子环。定理8.2.1环(R,+,x)的一个非空子集S构成R的子环的充要条件是：若a,b∈S,则a-b∈S且ab∈S。例8.2.1偶数环(E,+,x)是整数环(Z,+,x)的一个子环。含幺环的子环未必是含幺环。若S是环R的子环，则S的零元就是R的零元，子环S中元素的负元就是它们在环R中的负
2、元。例.设(R,+,x)是一个环，C={x∈R
3、xa=ax,a∈R}，称C为环R的中心，则C是R的一个子环。证.设x,y∈C,a∈R,xa=ax,ya=ay,则(x-y)a=xa-ya=ax-ay=a(x-y)(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=a(xy)定义8.2.2设T环(R,+,x)的一个子环，若∀r∈R,t∈T，有rt∈T，则称T为环R的左理想,若∀r∈R,t∈T，有tr∈T，则称T为环R的右理想.若子环T既是环R的左理想又是右理想，则称T为环R的双边理想，简称理想或理想子环。任何环(R,+,x)都至少有两
4、个理想：环R本身，以及只包含零元的集合{0}。称为环R的平凡理想。定理8.2.2环(R,+,x)的一个非空子集T是R的左理想的充要条件是：对∀r∈R,t1,t2∈T，有t1-t2∈T且rt1∈T。类似地，T是R的右理想的充要条件是：对∀r∈R,t1,t2∈T，有t1-t2∈T且t1r∈T。定理8.2.3如果S和T都是环(R,+,x)的理想，则S+T={s+t
5、s∈S,t∈T}和S∩T也是R的理想。例.设(R,+,x)是一个含幺环，R≠{0},则R的单位子环E={ne
6、n∈Z}是R的一个理想吗？定义8.2.3设(R,+,x)为一
7、个子环,a∈R，则称子集{x1ay1+⋯+xnayn+ra+ar’+ma
8、xi,yi,r,r’∈R,m∈Z}为由元素a生成的R的主理想，记作(a)。并且(1)若R是交换环，则(a)={ra+ma
9、r∈R,m∈Z}(2)若R是含幺环，则(a)={x1ay1+⋯+xnayn
10、xi,yi∈R}(3)若R是含幺交换环，则(a)={ra
11、r∈R}主理想是环论中十分重要的概念，也是实际运用最多的概念。例.(1)在整数环(Z,+,x)中，由元素m生成的主理想是(m)={km
12、k∈Z}=[0]m(2)在多项式环(P[x],+,x)中，由元素x
13、生成的主理想是(x)={px
14、p∈P[x]}(3)在偶数环(E,+,x)中，由元素2k生成的主理想是(2k)={2rk+2mk
15、r∈E,m∈Z}=[0]2k设(T,+,x)是环(R,+,x)的一个理想，则(T,+)是(R,+)的一个正规子群。记以r为代表元的陪集为r+T={r+t
16、t∈T}从而R关于陪集T的商群R/T={r+T
17、r∈R}。在R/T上定义加法⊕与乘法⊗如下：(r1+T)⊕(r2+T)=(r1+r2)+T(r1+T)⊗(r2+T)=r1r2+T则(R/T,⊕)是商群；且乘法⊗与代表元选取无关.这样(R/T,⊕,⊗)
18、是一个环，称为环(R,+,x)关于理想T的商环，也叫模理想T的商环。定义8.2.4设(R,+,x)和(R’,+’,x’)是环，若映射f:R→R’,保持加法与乘法不变，则称f为从环R到R’的同态。环R’的零元0’的逆像f-1(0’)={x
19、f(x)=0’,x∈R}称为环同态f的核，记为Kerf。定理8.2.4设(T,+,x)是环(R,+,x)的一个理想，(R/T,⊕,⊗)是相应的商环，则存在从R到R/T的满环同态。定理8.2.5设f为从环(R,+,x)到(R’,+’,x’)的同态，且T是R的子环（或理想），则(f(T),+’,x
20、’)是(R’,+’,x’)的子环（或理想）。定理8.2.6环的子环（理想）的在环同态下的逆像仍为子环（理想）。推论8.2.1设f为从环(R,+,x)到(R’,+’,x’)的同态，则其同态核Kerf是R的一个理想。定理8.2.7设f为从环(R,+,x)到(R’,+’,x’)的满环同态，则R关于同态核的商环(R/Kerf,⊕,⊗)同构于(R’,+’,x’)。
