第9节 群的同态基本定理ppt课件.ppt

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1、上一节：子群的陪集主要内容:子群的陪集Lagrange定理Lagrange定理的应用正规子群与商群1陪集的定义定义1设H是群G的子群，a∈G.令aH={ah

2、h∈H}称aH是子群H在G中的左陪集.称a为aH的代表元素.令Ha={ha

3、h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素.2左陪集的基本性质性质1设H是群G的子群，则(1)eH=H;(2)a∈G有a∈aH.性质2设H是群G的子群，则a,b∈G有a∈bHb∈aHa1b∈HaH=bH.性质3设H是群G的子群,则(1)a∈

4、G，aH≠;(2)a,b∈G，aH=bH或aH∩bH=;(3)∪aH=G.性质4设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的集族是G的一个划分.3性质6设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则

5、Sl

6、=

7、Sr

8、.陪集的基本性质性质5设H是群G的子群，则a,b∈G，

9、aH

10、=

11、bH

12、=

13、H

14、=

15、Ha

16、=

17、Hb

18、.4Lagrange定理定理1（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则

19、G

20、=

21、H

22、·[G:H]其中[G:H]是H在G中的不同左陪集(

23、或右陪集)个数，称为H在G中的指数.推论1设G是n阶群，则a∈G，

24、a

25、是n的因子，且有an=e.推论2对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G=(a).5Lagrange定理的应用命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群.例1证明6阶群中必含有3阶元.例2证明阶小于6的群都是Abel群.6注意：设G是一个n阶有限群，由Lagrange定理可知：G的子群的阶必是n的一个因子.但反过来，则未必成立，即：对n的任一因子d，G未必有一个d阶子群.例如：交代群A4中就没有6阶子群.但在群论中有以下结论：结论：若G是一个有限

26、交换群，则Lagrange定理的逆成立.例如：若G=(a)是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G有且仅有一个d阶子群.Lagrange定理的注释7等价关系与子群的陪集设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,b∈G,(a,b)∈Ra1b∈H则R是G上的等价关系，且[a]R=aH.设R是非空集合X上的等价关系,则a∈X,a∈[a]。等价类的性质:陪集的性质:设H是群G的子群，则(1)eH=H;(2)a∈G有a∈aH.8等价类的性质:陪集的性质:设H是群G的子群，则a,b∈G有a∈bHb∈aHa1b∈

27、HaH=bH.设R是非空集合X上的等价关系,则a,b∈X,有(a,b)∈Ra∈[b]b∈[a][a]=[b].等价关系与子群的陪集9设R是非空集合X上的等价关系,则(1)a∈X,[a]≠。(2)a,b∈X，[a]=[b]或[a]∩[b]=;(3)∪[a]=X.等价类的性质:陪集的性质:设H是群G的子群,则(1)a∈G，aH≠;(2)a,b∈G，aH=bH或aH∩bH=;(3)∪aH=G.等价关系与子群的陪集10左陪集的定义:等价类的定义:[a]={b

28、(a,b)∈R,b∈G}设H是群G的子群，

29、a∈G.子群H在G中的左陪集：aH={ah

30、h∈H}由于a,b∈G,(a,b)∈Ra1b∈H所以，子群H在G中的左陪集：aH={ah

31、h∈H}={b

32、(a,b)∈R,b∈G}=[a]={b

33、a1b∈H,b∈G}等价关系与子群的陪集11第9节群的同态基本定理主要内容:群的同态定义群的同态基本定理预备知识：映射映射按等价关系分解(3.7节)12群的同态定义定义1设(G1,∘)和(G2,)是两个群。如果存在一个从G1到G2的映射f，使得x,yG1有f(x∘y)=f(x)f(y),则称f是G1到G2的一个同态(

34、映射)，而称群G1与G2同态.如果同态f是满射，则称f是G1到G2的一个满同态(映射)，而称群G1与G2满同态，并记为G1~G2.如果同态f是单射，则称f是G1到G2的一个单同态(映射)，而称群G1与G2单同态.13群的同态性质定理1设(G1,∘)和(G2,)是两个群。f是从G1到G2的同态，则(1)f(e1)=e2;(2)xG1有[f(x)]-1=f(x-1).定理2设(G1,∘)是一个群，(G2,)是一个代数系统。如果存在一个从G1到G2的满射f，使得x,yG1有f(x∘y)=f(x)f(y),则(G2

35、,)是一个群.14群的同态性质定理3设(G1,∘)和(G2,)是两个群。f是从G1到G2的满同态，则G2的单位元e2的完全原象f-1(e2)={x

36、xG1，f(x)=e2}是G1的一个正规子群.定义2设(G1,∘)和(G2,)是两个群。f是从G1到G2的满同态，e2是G2的单位元，则G1的正规子群f-1(e2