群的同态映射.ppt

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1、群的同态与同构群的同态与同构同态与同态映射同构与同构映射满同态同构、同态与系统性质的保持同态与同态映射设{G1,*}与{G2,*’}都是群，如果存在映射:G1G2，使对任意x,yG1,(x*y)=(x)*’(y)，则称是群同态映射如果上述是满射，则称为满同态同构是同态的特例。例：整数加系统(Z,+)和对3剩余加系统(Z3,+3)同态映射：:ZZ3,f(3k+r)=r，这是满同态f一个满同态的例子定义系统：({e,o},*)运算“*”的运算表如下：eoeooe*eo则f:Z{e,o}:是从(Z,+)到({e,o},*)的满同态映射。这可以用来证明：1,2,...,1001这1

2、001个自然数，按照任意的组合实施加/减，得到的结果不可能是1001。满同态与运算性质的保持（1）结合律假设f:G1G2是满同态映射，若G1满足结合律，即对任意x,y,zG1,(x*y)*z=x*(y*z)则：对任意x’,y’,z’G2,因为f是满射，必有x,y,zG1,使得f(x)=x’,f(y)=y’,f(z)=z’,因此：(x’*y’)*z’=(f(x)*’f(y))*’f(z)=f(x*y)*’f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z))=f(x)*’(f(y)*’f(z))=x’*’(y’*’z’)为什么必须是满同态？可以类似地讨论交换律满同态与运算性质的

3、保持（2）单位元素假设f:G1G2是满同态映射，若G1有单位元e，即对任意xG1,(x*e)=(e*x)=x则：令f(e)=e’G2,对任意x’G2,一定存在xG1,x’*’e’=f(x)*’f(e)=f(x*e)=f(x)=x’，同理可得e’*’x’=x’，因此f(e)=e’是G2的单位元素。类似地可以讨论零元素。满同态与运算性质的保持（3）逆元素假设f:G1G2是满同态映射，若G1的每个元素均有逆元素，即对任意xG1,存在x-1G1,满足(x*x-1)=(x-1*x)=e,其中，e是G1的单位元素。则：任给x’G2,由f是满射可知，存在xG1,使得f(x)=

4、x’。x’*’f(x-1)=f(x)*’f(x-1)=f(x*x-1)=f(e);同理可得：f(x-1)*x’=f(e)。已知f(e)=e’即G2的单位元素，由逆元素的唯一性可知：x’-1=[f(x)]-1=f(x-1)群同构与同构映射群(G1,*)与(G2,*’)同构(G1≅G2)当且仅当：存在一一对应的函数(同构映射)f:G1G2,满足：对任意x,yG1,f(x*y)=f(x)*’f(y)“先(G1中的)运算后映射等于先映射后运算(G2中的)”例：正实数乘群(R+,•)和实数加群(R,+)同构映射f:R+R:f(x)=lnx注意：可能有多个同构映射，如f(x)=lgx也是

5、。同构映射的性质1、对于同构的群G1与G2，我们认为G1与G2是代数相同的，因为这是对于近世代数所研究的问题来说，除了符号与名称上的区别之外，二者没有实质差异2、设：G1G2是群同构映射，那么的逆映射G2G1也是群的同构映射3、设：和都是群同构映射，那么也是群同态映射同构关系是等价关系自反：对任意群(G,*),G≅G恒等映射f(x)=x是同构映射对称：对任意群G1,G2,若G1≅G2,则G2≅G1设从G1到G2的同构映射为f,则从G2到G1的同构映射是f-1传递：对任意群G1,G2,G3,若G1≅G2,且G2≅G3，则G1≅G3,设从G1到G2的同构映射为f,从G2到G3的同构映射

6、为g,则设从G1到G3的同构映射f*g,同态/同构与运算性质的保持f(G1)