§79一一映射,同态与同构

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1、第3讲§7—9一一映射,同态及同构(2课时)(BijectionHomomorphismandOsomorphism)本讲教学目的和要求:通过了解双射,同态及同构的理论,为后继课程中学习群同态,群同构(群第一、二同构定理)环同态,环同构理论做准备。具体要求:1、在第一讲的基础上,对各类映射再做深入的研究。2、充分了解双射(一一映射)的特性以及由此引导出的逆映射。3、两个代数系统的同态的概念,尤其是同态的满射所具有的性质。4、掌握同构映射的实质,为以后教学内容奠定基础,本讲的重点和难点:本讲的重点在于对同态映射定义的了解;由同态满射引导的一系列性质及

2、同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握,需要认真对待。本讲的教法和教具:在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。本讲思考题及作业:本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。一、一一映射在第1讲中,已对各类映射作了系列性的介绍,这里只对重要的一一映射作重点的讨论。定义1、设是集合到的映射,且既是单的又是满的,则称是一个一一映射(双射)。例1:,其中,可知显然是一个双射。注意:与偶数集之间存在双射,这表明:与它的一个真子集一样“大”。思考题:从例1中得知:一个无限集与其的某个真子集一样“大

3、”。这是否可作为无限集都有的特性?即我们是否有如下的结论:为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射。定理1:设是到的一个双射,那么由可诱导出(可确定出)到的一个双射(通常称是的逆映射)证明:由于是到的双射,那么就中任一个元素,它在中都有逆象,并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点,则可确定由到的映射:,如果,由上述说明,易知是映射。是满射:,因是映射,再由的定义知,这恰说明,是在下的逆象。由的任意性,知是满射。是单射:由是满射的逆象分别是,又是单射,这说明,所以是单射。综合上述讨论知:是到的一个双射。结论:设是映射,那么:(1)是双射可唯一的确

4、定一个逆映射,使得:是双射;;也是的逆映射,且;(2)是双射同时是有限集或同时是无限集。二、变换定义2:设是映射,那么习惯上称为是的变换。当是双射(单射,满射)时,也称为一一变换(单射变换,满射变换)例2三、同态(本目与高代中的线性变换类似)——对代数系统的比较。例3、设,其中中的代数运算就是中的加法,而中的代数运算为数中的乘法。定义3:设集合都各有代数运算(称及为代数系统)而是映射,且满足下面等式:(习惯上称可保持运算)那么称是到的同态映射。例4、设与同例3,今设,那么例5、与同上,而(1)若均为偶数时为偶数,(2)若均为奇数时为偶数,(3)若奇

5、而偶时为奇数,则(4)若偶而奇时同理知.由(1)~(4)知,是到的同态映射.如果同态映射是单射(满射),那么自然称是同态单射(同态满射),而在近世代数中,同态满射是尤其重要的。定义4:若是到的同态满射,那么习惯上称同态,并记为~;习惯上称是的同态象.定理2.如果是到的同态满射,那么(1)若满足结合律也适合结合律;(2)若满足交换律也适合交换律.证明:(1)任取是满射,又因为中的满足结合律即,但是是同态映射。所以同理可以证明(2)定理3、设和都是代数系统,而映射关于以及都是同态满射,那么:(1)若满足左分配律也适合左分配律;(2)若满足右分配律也适合

6、右分配律。证明:(1)是满射.又因为是关于及的同态映射即.同理可证明(2)。思考题1:在定理2及定理3中,都要求映射是满射,似乎当是同态满射时,才能将中的代数性质(结合律、交换律及分配律)“传递”到中,那么:(1)当不是满射时,“传递”还能进行吗?(即定理2,3成立吗?)(2)即使是满射,“传递”的方向能改变吗?(即中的性质能“传递”到中去吗?)(3)依照定理2,3的思路,若将换成同态单射后,能获得什么结论?四、同构定义4、设是到的同态映射,若是个双射,那么称是同构映射,或称与同构,记为。例6、设都是整数中通常的加法“+”,现作,那么是同构映射.事

7、实上,(1)是单射:当是单射.(2)是满射:是满射.(3)是同态映射:由(1),(2),(3)知,是同构映射,即。定理4、设是到的同构映射,那么(1)“”适合结合律“”也适合结合律;(2)“”适合交换律“”也适合交换律;(3)“”和“+”满足左(右)分配律“”和“”满足左(右)分配律。注意:由上述表明,同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的,因此,同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别,但从近世代数的宗旨来看,我们自然认为:它们的差别是表面上的,次要的,而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的,主要的。于是,我们需要阐明近世代数

8、的观点是:凡同构的代数体系都认为是(代数)相同的。在上述的观点下,一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。

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