§79一一映射,同态与同构

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1、第3讲§7—9一一映射，同态及同构（2课时）(BijectionHomomorphismandOsomorphism)本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求：1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础，本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及

2、同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。一、一一映射在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。定义1、设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。例1：，其中，可知显然是一个双射。注意：与偶数集之间存在双射，这表明：与它的一个真子集一样“大”。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大

3、”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：为无限集的充要条件是与其某个真子集之间存在双射。定理1：设是到的一个双射，那么由可诱导出（可确定出）到的一个双射（通常称是的逆映射）证明：由于是到的双射，那么就中任一个元素，它在中都有逆象，并且这个逆象是唯一的。利用的这一特点，则可确定由到的映射：，如果，由上述说明，易知是映射。是满射：，因是映射，再由的定义知，这恰说明，是在下的逆象。由的任意性，知是满射。是单射：由是满射的逆象分别是，又是单射，这说明，所以是单射。综合上述讨论知：是到的一个双射。结论：设是映射，那么：（1）是双射可唯一的确

4、定一个逆映射，使得：是双射；；也是的逆映射，且；（2）是双射同时是有限集或同时是无限集。二、变换定义2：设是映射，那么习惯上称为是的变换。当是双射（单射，满射）时，也称为一一变换（单射变换，满射变换）例2三、同态（本目与高代中的线性变换类似）——对代数系统的比较。例3、设，其中中的代数运算就是中的加法，而中的代数运算为数中的乘法。定义3：设集合都各有代数运算（称及为代数系统）而是映射，且满足下面等式：（习惯上称可保持运算）那么称是到的同态映射。例4、设与同例3，今设，那么例5、与同上，而（1）若均为偶数时为偶数，（2）若均为奇数时为偶数，（3）若奇

5、而偶时为奇数，则（4）若偶而奇时同理知.由(1)～(4)知,是到的同态映射.如果同态映射是单射（满射），那么自然称是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定义4：若是到的同态满射，那么习惯上称同态，并记为～；习惯上称是的同态象.定理2.如果是到的同态满射，那么（1）若满足结合律也适合结合律；（2）若满足交换律也适合交换律.证明：（1）任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明（2）定理3、设和都是代数系统，而映射关于以及都是同态满射，那么：（1）若满足左分配律也适合左分配律；（2）若满足右分配律也适合

6、右分配律。证明：（1）是满射.又因为是关于及的同态映射即.同理可证明（2）。思考题1：在定理2及定理3中，都要求映射是满射，似乎当是同态满射时，才能将中的代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”到中，那么：（1）当不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理2，3成立吗？）（2）即使是满射，“传递”的方向能改变吗？（即中的性质能“传递”到中去吗？）（3）依照定理2，3的思路，若将换成同态单射后，能获得什么结论？四、同构定义4、设是到的同态映射，若是个双射，那么称是同构映射，或称与同构，记为。例6、设都是整数中通常的加法“+”，现作，那么是同构映射.事

7、实上，（1）是单射：当是单射.（2）是满射：是满射.（3）是同态映射：由（1），（2），（3）知，是同构映射，即。定理4、设是到的同构映射，那么（1）“”适合结合律“”也适合结合律；（2）“”适合交换律“”也适合交换律；（3）“”和“+”满足左（右）分配律“”和“”满足左（右）分配律。注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的，主要的。于是，我们需要阐明近世代数

8、的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。