同态与同构ppt课件.ppt

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1、5-8同态与同构这一节我们将讨论两个代数系统之间的联系。着重研究两个代数系统之间的同态关系和同构关系。定义5-8.1：设和是两个代数系统，★和*分别是A和B上的二元（n元）运算，设f是从A到B的一个映射，使得对任意的a1,a2∈A,有f(a1★a2)=f(a1)*f(a2)，则称f为由到的一个同态映射(homomorphismmapping)，称同态于,记作A~B。把称为的一个同态象(imageunderhomomorphism)。其中f(A)={x

2、x=f(a),a∈

3、A}B例1考察代数系统，这里I是整数集，是普通的乘法运算。如果我们对运算只感兴趣于正、负、零之间的特征区别，那么代数系统中运算结果的特征就可以用另一个代数系统的运算结果来描述，其中B={正，负，零}，是定义在B上的二元运算，如表5-8.1所示。表5-8.1⊙正负零正负零正负零负正零零零零作映射f:I→B如下：正若n>0f(n)=负若n<0零若n=0很明显，对于任意a,b∈I，有f(ab)=f(a)⊙f(b)因此，映射f是由到的一个同态。例1告诉我们，在中研究运算结果的正、负、零的特征就等于

4、在中的运算特征可以说，代数系统描述了中运算结果的这些基本特征。而这正是研究两个代数系统之间是否存在同态的重要意义。注：由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多于一个的同态。定义5-8.2：设f是由到的一个同态，如果f是从A到B的一个满射，则f称为满同态；如果f是从A到B的一个入射，则f称为单一同态；如果f是从A到B的一个双射，则f称为同构映射，并称和是同构的(isomorphism)，记作A≌B。例2.设f:R→R定义为对任意x∈R，f(x)=5x，那么，f是从到

5、的一个单一同态。f(x+y)=5x+y=5x·5y=f(x)·f(y)f为入射。因为x1≠x2，则5x1≠5x2,即f(x1)≠f(x2)。又因为5x>0,所以f不是满射。例3.设f:N→Nk定义为对任意的x∈N，f(x)=xmodk，那么，f是从到的一个满同态。f(x+y)=(x+y)modk=(xmodk)+k(ymodk)=f(x)+kf(y);又f是满射。而f(1)=f(K+1)=1∈Nk,f不是入射。例4.设H={x

6、x=dn,d是某一个正整数，n∈I}，定义映射f:I→H为对任意n∈I，f(n)=dn，那么，f是

7、+>到的一个同构。所以I≌H。f(m+n)=d(m+n)=dm+dn=f(m)+f(n);又f是双射。例题1：设A={a,b,c,d}，在A上定义一个二元运算如表5-8.2所示。又设B={α,β,γ,δ},在B上定义一个二元运算如表5-8.3所示。证明和是同构的。表5-8.2表5-8.3★a　b　c　dabcda　b　c　db　a　a　cb　d　d　ca　b　c　d*αβγδαβγδα　β　γ　δβ　α　α　γβ　δ　δ　γα　β　γ　δ证明：考察映射f,使得f(a)=α，f(b)=β，f(c)=γ，f(d)=δ显然，f是一

8、个从A到B的双射，由表5-8.2和表5-8.3，容易验证f是由到的一个同态。因此，和是同构的。如果考察映射g,使得g(a)=δ，g(b)=γ，g(c)=β，g(d)=α那么，g也是由到的一个同构。由此例我们知道，当两个代数系统是同构的话，它们之间的同构映射可以是不唯一的。定义5-8.3：设是一个代数系统，如果f是由到的同态，则称f为自同态。如果g是由到的同构，则称g为自同构。定理5-8.1：设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构关系是等价

9、关系。证明：因为任何一个代数系统要以通过恒等映射与它自身同构，即自反性成立。关于对称性，设≌且有对应的同构映射f,因为f的逆是由到的同构映射，即≌。最后，关于传递性，如果f是由到的同构映射，g是由到的同构映射，那么g。f就是到的同构映射。这是因为对于a,bA,有f(a★b)=f(a)*f(b),而c,dB,有g(c*d)=g(c)Δg(d)；所以a,bA,有g。f(a★b)=g(f(a★b))=g(f(a)*f(b

10、))=g(f(a))Δg(f(b))=g。f(a)Δg。f(b)。因此，同构关系