离散3同态同构.ppt

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1、主要内容：代数系统的基本概念代数系统间的关系同态同构的基本概念同态同构的性质1.-吴扬扬制-设S为非空集合，*1,*2,…,*n为S上的代数运算，称为一个代数系统/代数结构，S为该代数系统的定义域。有限代数系统：若S是有限集，其中

2、S

3、称为该系统的阶。例7：,<(U),-,,><*,o><{1,2,…,m},>,其中:§7.1代数运算与代数系统4.代数系统时钟代数,称1为生成元。子代数。2.-吴扬扬制-§7.2同态与同构1.基本概念(1)同类型：设A=和A’=

4、,*’n>是两个代数系统,如果iN(1≤i≤n),*i和*’i是同阶运算,则称A和A’是同型的。例1:和同型，其中：+m和m分别定义为：i,jNm,i+mj=(i+j)modmimj=(ij)modm和<(U),,>？<(U),-，>和<(U),,>？运算个数和相应的阶都相同保持运算：设*和*’分别是集合S,S’上的n元运算，函数h:S→S’,如果a1,…,anS,都有：h(*(a1,…,an))=*’(h(a1),…,h(an)),则称h关于*和*’保持运算。SS’a1an┇h(a1)h(

5、an)┇h:S→S’a*a’*’=h(a)例2:定义h:I→Nmh(i)=imodm则h关于例1中的+和+m保持运算，∵i,jI,设i=q1m+r1,j=q2m+r2(q1,q2N,0≤r1,r2和A’=是同型的代数系统，函数h:S→S’，如果iN(1≤i≤n),h关于*i和*’i都保持运算，

6、则称h为从A到A’的同态映射，并称A和A’同态。特别地(1)若h单射，则称h为单一同态映射，称A和A’单一同态；(2)若h满射，则称h为满同态映射，称A和A’满同态，用A~A’表示；(3)若h双射，则称h为同构映射，称A和A’同构，用AA’表示；(4)若A=A’，则称h为自同态；(5)若A=A’且h双射，则称h为自同构；如例1中~，h:I→Nmh(i)=imodm满射且关于+和+m,和m保持运算。P1484.-吴扬扬制-§7.2同态与同构1.基本概念(3)例3：证明:定义：h:R→R+,h(x)=ex(xR

7、)（1）h是R到R+的函数，∵xR,都有R+中唯一的元素ex与之对应；（2）h双射，∵yR+，有lnyR,使h(lny)=elny=y∴h满射又∵x1,x2R，当x1≠x2时,∴h单射（3）h关于+和保持运算，∵x1,x2R，=h(x1)h(x2)∴h是到的同构映射∴2个系统间的同态/同构映射是否唯一？P149例7.2.4,如何证明hk是自同态/自同构?5§7.2同态与同构2.同态同构的性质(1)定理7.2.1:设f为从A=到A’=的同态映射，g为从A’=

8、到A’’=的同态映射，则gof是从A到A’’的同态映射。证明：由合成函数的性质知：gof是从S到S’’的函数。iN(1≤i≤n),a1,…,aniS,(其中：ni为*i的阶）gof(*i(a1,…,ani))=g(f(*i(a1,…,ani)))=g(*’i(f(a1),…,f(ani)))=*i’’(g(f(a1)),…,g(f(ani)))f为从A到A’的同态映射g是从A’到A’’的同态映射=*i’’(gof(a1),…,gof(ani))gof关于*i和*’’i(1≤i≤n）保持运算，是从A到A’

9、’的同态映射。6.-吴扬扬制-§7.2同态与同构2.同态同构的性质(2)定理7.2.2设f为从A=到A’=的同构映射，则f-1是从A’到A的同构映射。需证：iN(1≤i≤n),a’1,…,a’niS’,(其中：ni为*’i的阶）f-1(*’i(a’1,…,a’ni))=*i(f-1(a’1),…,f-1(a’ni))证明：∵f是从A到A’的同构映射，∴f是从S到S’的双射函数∴a’1,…,a’niS’,有a1,…,aniS，使f(a1)=a’1…,f(ani)=a