同构及同态和环.ppt

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1、§6.5同构及同态6.5.1同态映射定义6.5.1设G是一个群，K是一个乘法系统，G到K的一个映射σ说是一个同态映射，如果σ（ab）=σ（a）σ（b）。定理6.5.1设G是一个群，σ是G到K中的一个同态映射，则G的映象G′=σ（G）是一个群，G的单位元1的映象σ（1）就是G′的单位元1′，而a的逆a-1的映象σ（a-1）就是a的映象σ（a）的逆σ（a）-1：σ（a-1）=σ（a）-1。证明：因为G非空,显然G′非空，要证G′做成群，首先要证G′中任意两个元素可以相乘，即设a′∈G′，b′∈G′，要证a′b

2、′∈G′。事实上，a′=σ（a），b′=σ（b），按σ的同态性σ（ab）=σ（a）σ（b）=a′b′，故a′b′是G的元素ab的映象，因而a′b′∈G′。再证G′中有结合律成立：设a′,b′,c′∈G′，则a′（b′c′）=（a′b′）c′。事实上，a′=σ（a），b′=σ（b），c′=σ（c），又因为群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是σ（a（bc））=σ（（ab）c）。按σ的同态性，推出σ(a)σ(bc)=σ(ab)σ(c)，σ(a)(σ(b)σ(c))=(σ(a)σ(b))σ(c)，

3、即a′（b′c′）=（a′b′）c′。下面证G′有左壹而且就是σ（1），即对于任意的a′∈G′,有σ(1)a′=a′。事实上，a′=σ（a），按σ的同态性σ（1）a′=σ（1）σ（a）=σ（1a）=σ（a）=a′。再证G′中的任意元素a′有左逆而且就是σ（a-1）。事实上，a′=σ（a），由σ的同态性σ(a-1)a′=σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ（1）。因此，G′做成一个群，G′的壹1′=σ（1），G′中a′的逆是σ（a-1）。G和G′说是同态，记为G～G′。例6.5.1设（G，*），（K，+

4、）是两个群，令σ：xe，xG，其中e是K的单位元。则σ是G到K内的映射，且对a，bG，有σ（a*b）=e=σ（a）+σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。例6.5.2设（Z，+）为整数加法群，（C*，·）是所有非零复数在数的乘法下作成的群，令σ：nin，nZ，其中i是C的虚数单位。则σ是Z到C*内的一个映射，且对m,nZ，有σ(m+n)=im+n=im·in=σ(m)·σ(n)。即，σ是Z到C*的同态映射，Z～

5、σ（Z）。σ（Z）={1，-1，i，-i}是C*的一个子群。6.5.2同构映射定义6.5.2设G是一个群，K是一个乘法系统，σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ（G）上的1-1映射,则称σ是同构映射。称G与σ（G）同构，记成GG′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。如果G只和G′同态，则由于G中两个或多个元素可能变成G′的一个元素，所以不能说是G和G′构造一样，但因为G中的乘法关系在G′中仍对应地成立，所以，可以说G′是G的一个缩影。例6.5.3设（R+，·）是一切正实数在数的乘法下作

6、成的群,(R，+)是实数加法群。令σ：xlogx，xR+，则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+，σ（a·b）=log（a·b）=loga+logb=σ（a）+σ（b）。故σ是R+到R上的同构映射。Logx是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或若取σ（x）=log10x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。此例中（R+，·）（R，+），如果将R+换成R*，即换成非零实数集,那么（R*,·）与（R,+）能否同构呢？例6.5.4（R*

7、，·）与（R，+）不可能同构。证明：用反证法。假设（R*，·）与（R，+）同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有σ：10，-1a，a0。从而，σ（1）=σ（（-1）·（-1））=σ（-1）+σ（-1）=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a0矛盾。故原假设不对,（R*，·）与（R，+）不可能同构。例6.5.5无限循环群同构于整数加法群。证明：设G=（g）是无限循环群，Z为整数加法群，则对aG，nZ，使得a=gn，则令f：an。不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，GZ。

8、定义6.5.3设G是一个群，若σ是G到G上的同构映射，则称σ为自同构映射。自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例子。例6.5.6设（Z，+）是整数加法群，令σ：n-n，nZ，则σ是Z的一个自同构映射。例6.5.7设G是一个Abel群，将G的每个元素都映到其逆元素的映射σ：aa-1，aG，是G的一个自同构映射。此例包含上例为特例。