同态与同构论文

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1、浅谈同态和同构摘要近世代数的主要研究内容是所谓的代数系统，即带有运算的集合.近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多部门里都有重要的应用，在近世代数中，同态与同构是一个较为初等但又极为重要的概念，它们是相互联系又有所不同的.同态是保持代数系统结构的映射，是同构的推广.在不同的代数系统中同态成为同构的条件不同，这里阐述了同态成为同构的条件，论述了同态及同构在不同代数系统上的一些应用，从中说明了同态与同构的重要性.关键词：同态；同构；群；环AbstractThemainresearchcontentsofmodernalgebraisso-called

2、algebraicsystem,namelythesetwithoperations.Modernalgebrahasimportantapplicationsinotherbranchsofmathematicsandmanydepartmentsofnaturalscience.Homomorphismandisomorphismareofgreatimportanceandaremoreelementaryandtheyarerelatedanddifferentaswell.Homomorphismisashineuponwhichkeep

3、sthestructureofthesystemofalgegbra,andaextenderofisomorphism.Wefirstintroducetheconceptsofhomomorphismandisomorphismandanalyzethedifferenceandrelationofhomomorphismandisomorphism.Theconditiononwhichhomomorphismbecomesisomorphismisgivenandweshowsomeapplicationsofhomomorphismand

4、isomorphismindifferentalgebrasystems,whichillustratestheimportanceofhomomorphismandisomorphism.Keywords:Homomorphism;Isomorphism;Group;Ring前言为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系统加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同态与同构就是实现这种分类的主要途径，也是代数

5、学的最基本的研究工具.1代数系统的同态与同构的定义1.1同态映射及同态的定义7定义1一个到的映射，叫做一个对于代数运算和来说的，到的同态映射，假如，在之下，不管和是的哪两个元，只要，就有定义2假如对于代数运算和来说，有一个到的满射的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算和来说，与同态.1.2同构的定义定义3我们说，一个与间的一一映射是一个对于代数运算与来说的，与间的同构映射（简称同构），假如在之下，不管，是的哪两个元，只要，就有假如在与之间，对于代数运算与来说，存在一个同构映射，我们说，对于代数运算与来说，与同构，并且用

6、符号来表示.1.3同态与同构的区别与联系1）从定义上看集合与同态是指到的一个满射，若这个映射同时又是单射，则称与同构.2）一个无限集可以与它的子集同态或同构，但一个有限集只能与它的子集同态而不能同构，如：例1建立实数集到正实数集的映射，，的运算为数的加法，的运算为数的乘法，因为，因此该映射是到正实数集的一个同态映射，由于该映射是一一映射，因而也是一个同构映射.关于代数系统的同态有以下定理定理1假定对于代数运算和来说，与同态.那么，（1）若适合结合律，7也适合结合律；（2）若适合交换律，也适合交换律.定理2假定，都是集合的代数运算，，都是集合的代数运

7、算，并且存在一个到的满射，使得与对于代数运算，来说同态，对于代数运算，来说也同态.那么，（1）若，适合第一分配律，，也适合第一分配律；(2)若，适合第二分配律，，也适合第二分配律.2群的同态与同构2.1群的同态与同构的定义定义4给定群和群，称群到群的一个映射：是群到群的一个同态映射（简称同态），如果对任意，，有当是单（满）射时，称为单（满）同态；当是一一映射时，称为与间的同构映射（简称同构，记为）；当是群到群的一个同态时，令={

8、，是的单位元}称为的核.2.2同态与同构在群中的应用群的同构是一个等价关系，彼此同构的群具有完全相同的性质.通过对群的比

9、较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的不同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系.对于同构的群与,我们认