习题八 同态与同构.doc

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1、习题八:同态与同构1．证明：如果是由<,★>到<>的同态映射，是由到的同态映射，那么，是由<,★>到的同态映射。2．设是一个群，而，如果是到的映射，使得对于每一个，都有试证明是一个从到上的自同构。3．试证由表5-8.9所给出的两个群<,★>和是同构的。表5-8.9★<,★>*4．设，都是从代数系统<,★>到代数系统<>的同态。设是从到的一个映射，使得对任意，都有证明：如果<>是一个可交换半群，那么是一个由<,★>到<>的同态。5．是实数集上的加法群，设是同态否？如果是，请写出同态象和同态核。6．证明：循环群的同态象必定是循环群。8．与同构吗？8．证明：一个集合上任意两个同余关系的

2、交也是一个同余关系。9．证明定理5-8.4中在上所定义的二元运算*是唯一确定的。10．考察代数系统，以下定义在上的二元关系是同余关系吗？a)当且仅当b)当且仅当c)当且仅当（）()d)当且仅当11．设和都是群<,★>到群的同态，证明<,★>是<,★>的一个子群，其中12．设为从群到的同态映射，则为入射当且仅当。其中，是中的幺元。13．设为有限群，且关于运算满足右消去律，置，设为函数的复合运算。证明：（1）是半群。（2）与同构。14．下面哪些是对称群的子群？（1）。（2）。（3）。（4）。15．设，是群G的两个互不包含的子群，则G的子集是否构成G的子群？为什么?16．设G是群，A，

3、B为子群，试证明若，则或。17．证明群G的子群H是正规子群的充要条件是，这里。18．设H是G的子群，H的阶数为n，且G的阶数为n的子群只有一个，证明：H是G的正规子群。19．设为交换群，n为正整数，证明：。20．设是一群，，定义函数；证明：是G的自同构。21．设是群，R为G上的等价关系，且对任意的，若，则。置，其中是幺元。证明：是的子群。22．设是一群，。定义：。证明也是一群。23．设H是G的子群，。问是否是一个映射?是否是一个单值映射？24．设g是群到的一个同态，而K是g的核，证明同构于。其中上的二元运算定义为：。25．设是一个群，是一个代数系统，其中*是B上的代数运算。如果存

4、在A到B的满射，，则H也是一个群，且G与H同构。26．证明4阶群必为循环群或四元群。27．设G是群，是G的子群，且（1）；（2）；（3）。在上定义。求证：是一个群，且。28．G为群，，且，其中，y是2阶元。这里e是单位元。求x的阶。要求写出解题过程。29．G为群，，且，，。（1）证明：若、的阶分别为、，则c的阶整除m与n的最大公因子。（2）若的阶均为2，给出集合的生成子群。30．设G为n阶群，。令，。证明：（1）。（2）设是群G的中心，且，则。