6.5-同构及同态

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1、§6.5同构及同态6.5.1同态映射6.5.2同构映射6.5.3同态核1§6.5.1同态映射定义6.5.1设G是一个群，其运算是*；K是一个乘法系统，其运算为•，称G到K的一个映射σ是一个同态映射，如果对G中任意元素a,b，有σ(a*b)=σ(a)•σ(b)注意：这个映射既不一定是单射也不一定是满射。2设(G，*)，(K，+)是两个群，令σ：xe，x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K内的映射，且对任意a,b∈G，有σ(a*b)=e=e+e=σ(a)+σ(b)即，σ是G到K的同态映射。σ(G)={e}是

2、K的一个子群，记G～σ(G)。例1：3设G1是整数加法群，G2是模n的整数加法群，G2上的运算⊕如下：a⊕b=令σ：xx(modn)，x∈G1，则σ是G1到G2的满射，且对任意a,b∈G1，有σ(a+b)=a+b(modn)=a(modn)⊕b(modn)=σ(a)⊕σ(b)σ是G1到G2的满同态映射。例2：4设G为整数加群，G’为实数加群，令σ：x-x，x∈G，则σ是G到G’内的映射，且对任意x1,x2∈G，有σ(x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=σ(x1)+σ(x2)所以σ

3、是G到G’的同态映射，显然是单射但不是满射，σ(G)=Z是G’的子群。例3：5设G是一个群，K是一个乘法系统，σ是G到K中的一个同态映射，G’=σ(G)，则1)G’是一个群；2)G’的单位元1’就是G的单位元1的映像σ(1)，即1’=σ(1)；3)对任意a∈G，σ(a-1)=(σ(a))-1。称G和G’同态，记为G～G’。定理6.5.16对群(Z，+)和(C*，·)，若令σ：nin，n∈Z，其中i是C的虚数单位。则σ是Z到C*内的一个映射，且对m,n∈Z，有σ(m+n)=im+n=im·in=σ(m)·σ

4、(n)。即，σ是(Z，+)到(C*，·)的同态映射，Z～σ(Z)。σ(Z)={1,-1,i,-i}是C*的一个子群。例1：7群(R，+)和(R+，·)是同态的，因为若令σ：xex，x∈R，则σ是R到R+的1-1映射，且对任意x1,x2∈R，有σ(x1+x2)=ex1+x2=ex1·ex2=σ(x1)·σ(x2)，σ是(R，+)到(R+,·)的满同态映射。例2：8证明：1)因为群G非空，至少1∈G，故至少σ(1)∈G’，即G’非空。2)任取a’∈G’，b’∈G’，往证a’b’∈G’。因有a,b∈G，使得a’

5、=σ(a)，b’=σ(b)，故按σ的同态性，a’b’=σ(a)σ(b)=σ(ab)，而ab∈G，因而a’b’=σ(ab)∈σ(G)，即a’b’∈G’。93)往证G’中有结合律成立：任取a’,b’,c’∈G’,往证a’(b’c’)=(a’b’)c’。因有a,b,c∈G，使得a’=σ(a)，b’=σ(b)，c’=σ(c)，故按σ的同态性，a’(b’c’)=σ(a)(σ(b)σ(c))=σ(a(bc))(a’b’)c’=(σ(a)σ(b))σ(c)=σ((ab)c)因群G中有结合律成立，所以a(bc)=(ab)c

6、。于是：σ(a(bc))=σ((ab)c)。因此，a’(b’c’)=(a’b’)c’。104)往证G’有左壹而且就是σ(1)，即证对于任意的a’∈G’，有σ(1)a’=a’。因有a∈G，使得a’=σ(a)，按σ的同态性σ(1)a’=σ(1)σ(a)=σ(1a)=σ(a)=a’。5)往证G’中任意元素σ(a)有左逆且就是σ(a-1)。即σ(a-1)=(σ(a))-1。由a∈G，且G是群，知a-1∈G，故σ(a-1)∈G’。由σ的同态性σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ(1)。综上，G’做成一个群，G’的

7、壹1’=σ(1)，G’中σ(a)的逆是σ(a-1)。11§6.5.2同构映射定义6.5.2设G是一个群，K是一个乘法系统，σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G到σ(G)上的1-1映射，则称σ是同构映射。称G与σ(G)同构，记成Gσ(G)。12群(R+，·)和(R，+)是同构的。因为若令σ：xlnx，x∈R+，则σ是R+到R上的1-1映射，且对任意a,b∈R+，σ(a·b)=ln(a·b)=lna+lnb=σ(a)+σ(b)故σ是(R+，·)到(R，+)上的同构映射。lnx是以e为底的x的对数，若取σ(

8、x)=log2x，或若取σ(x)=log10x，则得到R+到R上的不同的同构映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。例1：13(R*，·)与(R，+)不可能同构。证明：用反证法。假设(R*，·)与(R，+)同构，可设映射σ为R*到R上的一个同构映射，于是必有：σ：10，-1a，a≠0从而，σ(1)=σ((-1)·(-1))=σ(-1)+σ(-1)=a+a=2a。则有2a=0，a=0，与a≠0矛