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1、山东政法学院教案模版授课时间十一周第2次课授课章节5.3代数系统的同态与同构任课教师及职称唐新华讲师教学方法与手段板书和电子课件结合课时安排2课时使用教材和主要参考书1、教材：耿素云等，离散数学，清华大学出版社，20082.参考书左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006教学与目的要求：了解子代数和积代数的基本概念教学重点、难点:重点：子代数和积代数的基本概念和性质难点：子代数和积代数的性质教学内容:5.3代数系统的同态与同构一、本节主要内容同态映射的定义同态映射的分类单同态、满同态、同构自同态同态映射的性质二、教学内容同态映射的定义定义设V1=<
2、S1,∘>和V2=是代数系统，其中∘和*是二元运算.f:S1®S2,且"x,yÎS1,f(x∘y)=f(x)*f(y),则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.山东政法学院教案模版更广泛的同态映射定义定义设V1=和V2=是代数系统，其中∘和*是二元运算.f:S1®S2,且"x,yÎS1f(x∘y)=f(x)*f(y),f(x∙y)=f(x)◊f(y)则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.设V1=和V2=是代数系统，其中∘和*是二元运算.∆和∇是一元运算，f:S1®S2,且"x,y
3、ÎS1f(x∘y)=f(x)*f(y),f(x∙y)=f(x)◊f(y),f(∆x)=∇f(x)则称f为V1到V2的同态映射，简称同态.例V1=，V2=，Zn={0,1,…,n-1},Å是模n加.令f：Z→Zn，f(x)=(x)modn则f是V1到V2的同态."x,y∈Z有f(x+y)=(x+y)modn=(x)modnÅ(y)modn=f(x)Åf(y)例V1=，V2=f ：R®R＋,f(x)=ex例题例1V=,判断下面的哪些函数是V的自同态？(1)f(x)=
4、x
5、(2)f(x)=2x(3)f(x)=x
6、2(4)f(x)=1/x(5)f(x)=-x(6)f(x)=x+1解(2),(5),(6)不是自同态.(1)是同态，f(x×y)=
7、x×y
8、=
9、x
10、×
11、y
12、=f(x)×f(y)(3)是同态，f(x×y)=(x×y)2=x2×y2=f(x)×f(y)(4)是同态，f(x×y)=1/(x×y)=1/x×1/y=f(x)×f(y)山东政法学院教案模版特殊同态映射的分类f为V1=到V2=的同态，则1.是V1在f下的同态像，2.同态映射f如果是单射，则称为单同态；3.如果f是满射，则称为满同态，记作V1~V2；4.如果f是双射，则称
13、为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1@V2.5.对于代数系统V，它到自身的同态称为自同态.类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构.同态映射的实例例2设V=，"aÎZ，令fa：Z®Z，fa(x)=ax那么fa是V的自同态.因为"x,yÎZ，有fa(x+y)=a(x+y)=ax+ay=fa(x)+fa(y)当a=0时称f0为零同态；当a=±1时，称fa为自同构；除此之外其他的fa都是单自同态.例3设V1=,V2=，其中Q*=Q-{0}，令f ：Q®Q*,f(x)=ex那么f是V1到V2的同态映射，因为"x,yÎQ有f(x+y)
14、=ex+y=ex×ey=f(x)×f(y).不难看出f是单同态.例4V1=，V2=，Zn={0,1,…,n-1},Å是模n加.令f：Z→Zn，f(x)=(x)modn则f是V1到V2的满同态."x,y∈Z有f(x+y)=(x+y)modn=(x)modnÅ(y)modn=f(x)Åf(y)同态映射的实例（续）例5设V=，可以证明恰有n个G的自同态，fp：Zn→Zn, fp(x)=(px)modn，p=0,1,…,n-1例如n=6,那么f0为零同态,同态像是<{0,Å}>；f1与f5为同构；f2与f4的同态像是<{0,2,4
15、},Å>；f3的同态像是<{0,3,Å}>.定义：设V1=和V2=是代数系统，其中∘和*是二元运算.k1是S1的代数常数，k2是S2的代数常数，f:S1®S2,如果满足（1）"x,yÎS1,f(x∘y)=f(x)*f(y),（2）f(k1)＝k2则称f为V1到V2的同态例V1=，V2=，Zn={0,1,…,n-1},Å是模n加.令f：Z→Zn，f(x)=(x)modn山东政法学院教案模版"x,y∈Z有f(x+y)=(x+y)modn=(x)modnÅ(y)modn=f(x)Åf(y)同时，f(0
16、)=0同态
