Ch 15.3 代数系统的同态与同构 15.4 同余关系与商代数ppt课件.ppt

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1、15.3代数系统的同态与同构同态映射的概念同态映射定义同态映射分类实例同态映射的性质同态映射的合成仍旧是同态映射同态像是映到代数系统的子代数同态像中保持原有代数系统的运算性质1同态映射的定义定义设V1=,V2=是同类型代数系统，oi，oi′为ki元运算,i=1,2,…,r.函数f:A→B,对于所有的运算oi与oi′，xi,…,xki∈A,f(oi(xi,…,xki))=oi′(f(x1),f(x2),…,f(xki)),则称f为V1到V2的一个

2、同态映射，简称同态.称为的一个同态象.其中f(A)={x

3、x=f(a),a∈A}B二元：f(xoiy)=f(x1)oi′f(x2),x,y∈A一元：f(oix)=oi’f(x),x∈A零元：f(a)=a′,2同态映射的定义（续）¼¼x1f(x1)x2f(x2)f(xki)xkiOi(x1,x2,…,xki)=Oi′(f(x1),f(x2),…,f(xki))…………ABf:A→Bf(Oi(x1,x2,…,xki))3几点说明1.对于二

4、元运算、一元运算、0元运算采用下述表示：f(x*y)=f(x)★f(y)f(△x)=△’f(x)f(a)=a’2.同态映射要对所有的运算保持等式，包括0元运算.例如则f不是V的自同态，因为不保持0元运算4同态映射的分类设V1=与V2=，f:A→B是V1到V2的同态映射，按映射f的性质分为：?单同态?满同态V1∼V2?同构V1≅V2按载体分：自同态,V1=V2综合：单自同态、满自同态、自同构5同态映射的实例(1)V=,fc:Z→Z,fc(

5、x)=cx,c为给定整数c=0,零同态(x∈A,f(x)=0)c=±1，自同构;其它c,单自同态(2)V=,fp:Z6→Z6,fp(x)=(px)mod6,p=0,1,…,5,p=0,f0零同态;p=1,f1恒等映射，自同构p=2,f2={<0,0>,<1,2>,<2,4>,<3,0>,<4,2>,<5,4>},p=3,f3={<0,0>,<1,3>,<2,0>,<3,3>,<4,0>,<5,3>}p=4,f4={<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>,<5,2>}p=5,f5={

6、<0,0>,<1,5>,<2,4>,<3,3>,<4,2>,<5,1>}自同构(3)推广到V=,fp(x)=(px)modn,p=0,1,…,n-1,fp(x⊕y)=(p(x⊕y))modn=(px)modn⊕(py)modn=fp(x)⊕fp(y)6同态性质同态的合成仍旧是同态同态像是映到的代数系统的子代数满同态映射（同态像中）保持原代数系统的下述性质：交换、结合、幂等、分配、吸收单位元、零元、逆元消去律不一定保持7同态的合成仍旧是同态定理若f:V1→V2,g:V2→V3为同态映射，则g○f:V1→V

7、3也为同态映射.证：g○f是从V1到V3的映射.任取V1,V2,V3中一组对应的运算o1,o2,o3,设均为k元运算.∀x1,x2,…,xk∈V1,g○f(o1(x1,x2,…,xk))=g(f(o1(x1,x2,…,xk)))=g(o2(f(x1),f(x2),…,f(xk)))=o3(g(f(x1)),g(f(x2)),…,g(f(xk)))=o3(g○f(x1),g○f(x2),…,g○f(xk))由运算的任意性，命题得证.推论代数系统的同构具有自反、对称、传递的性质.8同态像是映到代数系统的子代数定理15.

8、7设V1=与V2=是同类型的代数系统，oi与oi'是ki元运算,(i=1,2,…,r),f:A→B是V1到V2的同态，则f(A)关于V2的运算构成代数系统，且是V2的子代数，称f(A)为V1在f下的同态像.证f(A)是B的非空子集.证明f(A)对V2中的所有运算封闭.(1)若V2有0元运算a′,则V1存在0元运算a,f(a)=a′.即a'∈f(A).(2)任意V2中非0元运算o′(k元运算),∀y1,y2,…,yk∈f(A)，存在x1,x2,…,

9、xk∈A,令f(xi)=yi,i=1,2,…,k,则o'(y1,y2,...,yk)=o'(f(x1),f(x2),...,f(xk))=f(o(x1,x2,...,xk))∈f(A).9满同态保持原代数性质定理15.8设V1=与V2=是同类型的代数系统，函数f:A→B是V1到V2的满同态