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时间:2020-06-17
《近世代数课件(全)--2-9 群的同态、同构.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、近世代数第二章群论§9群同态、同构一、定义1若存在群到群的同态满射,则称群与群同态;若存在群到群的同构映射,则称群与群同构.假定是集合到的一个满射,,称为在之下的象;,称为在之下的逆象.为二、群同态性质群与同态,是到的同态满射,则(1)(2)(3)(4)(5)定理1(6)是循环群,则也是循环群.定理2两个代数系统同态,与若是群,则也是群.证明:,是群,有结合律,则也有结合律;是同态满射,有是的左单位元;是的左逆元也是群.例1证明关于做成群.证明:取是到的同态满射,而是群,因此是群.例2是到的同态满射,{全体正负奇数},代数运算均为数的普通乘法正奇数1负奇数-1是群
2、,而不是群.三、同态核思考题1:,,那么例1与同态定义3设是群到群的同态映射,是的单位元.称在中的所有的核,记作逆象组成的集合为同态映射例3是到的同态映射{全体偶数}引理1若是群到群的同态映射是单射,则证明:而是单射若,则是单射.引理2若是群到群的同态满射,则证明:四、群同态基本定理定理3群同它的每个商群定义4称群到商群的同态满射为的自然同态.同态.到注:定理4(群同态基本定理)群与同态,是到满射,则的同态证明:取说明:定理3说明任何群都同它的商群同态;同另一个群同态,在同构意义下是的一个商群.定理4说明一个群则这个群因此,在同构意义下,定理3与定理4的意思是:每
3、个群能而且只能同它的商群同态.推论1:设与是有限群,且,则推论2:循环群的商群也是循环群.整除五、群的同构定理定理5设是群到群的同态满射,则,又证明:取例4,则证明:
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