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时间：2020-06-17
《近世代数课件(全)--2-9 群的同态、同构.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、近世代数第二章群论§9群同态、同构一、定义1若存在群到群的同态满射，则称群与群同态；若存在群到群的同构映射，则称群与群同构.假定是集合到的一个满射，，称为在之下的象；，称为在之下的逆象.为二、群同态性质群与同态，是到的同态满射，则(1)(2)(3)(4)(5)定理1(6)是循环群，则也是循环群.定理2两个代数系统同态，与若是群，则也是群.证明：，是群，有结合律，则也有结合律；是同态满射，有是的左单位元；是的左逆元也是群.例1证明关于做成群.证明：取是到的同态满射，而是群，因此是群.例2是到的同态满射，{全体正负奇数}，代数运算均为数的普通乘法正奇数1负奇数-1是群
2、，而不是群.三、同态核思考题1：，，那么例1与同态定义3设是群到群的同态映射,是的单位元.称在中的所有的核,记作逆象组成的集合为同态映射例3是到的同态映射{全体偶数}引理1若是群到群的同态映射是单射，则证明：而是单射若，则是单射.引理2若是群到群的同态满射，则证明：四、群同态基本定理定理3群同它的每个商群定义4称群到商群的同态满射为的自然同态.同态.到注：定理4（群同态基本定理）群与同态，是到满射，则的同态证明：取说明：定理3说明任何群都同它的商群同态；同另一个群同态，在同构意义下是的一个商群.定理4说明一个群则这个群因此，在同构意义下，定理3与定理4的意思是：每
3、个群能而且只能同它的商群同态.推论1：设与是有限群，且，则推论2：循环群的商群也是循环群.整除五、群的同构定理定理5设是群到群的同态满射，则，又证明：取例4，则证明：
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