《群的同构与同态》PPT课件.ppt

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1、置换群子群{(1)};{(1),(12)};{(1),(123),(132)};{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)};{(1),(12),(23),(13),(123),(132)};{(1),(13),(24),(1234),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}A4,S42021/8/221正规子群正规子群：H≤G,，且∀a∈G，aH=Ha.记为H⊴G.（1）判定定理(1)N是G的正规子群(2)∀g∈G,gNg−1=N(3)∀g∈G,∀n∈N,gng−1∈N（2）

2、N

3、=t,N是G的唯一t

4、阶子群（3）指数为2的子群2021/8/222置换群子群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}正规子群<(1)>,S3,A3=<(123)>非正规子群<(12)>,<(13)>,<(23)>,2021/8/223群的同态与同构定义：群G1，G2，映射f:G1→G2．若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y)，则称f为G1到G2的同态映射，简称同态．满同态，单同态，自同态，同构，自同构2021/8/224群的同态实例(1)整数加群的自同态：fc(x)=cx，c为给定整数(2)模n加群的自同态：f

5、p(x)=(px)modn,p=0,1,…,n−1(3)G1=,G2=,G1到G2的满同态f:Z→Zn,f(x)=(x)modn2021/8/225群的同态与同构群同态只要求保持乘法运算,即若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y)，若将群看成代数系统，则同态f是否满足：f(e1)=e2，f(x−1)=f(x)−12021/8/226同态映射的性质1同态保持元素的性质f(e1)=e2f(x−1)=f(x)−1f将生成元映到生成元(满同态时)

6、f(a)

7、整除

8、a

9、，同构条件下

10、f(a)

11、=

12、a

13、2021/8

14、/227同态映射的性质2同态保持子代数的性质H≤G1⇒f(H)≤G2H⊴G1,f为满同态，f(H)⊴G22021/8/228同态保持元素性质的应用证明不存在同构(反证法)例1证明不存在到的同构.证假设存在同构f:Q*→Q,则f(1)=0,0=f(1)=f((−1)(−1))=f(−1)+f(−1)=2f(−1)，从而f(−1)=0与f的单射性矛盾.2021/8/229同态核同态核kerf={x

15、x∈G1,f(x)=e2}(1)整数加群的自同态：fc(x)=cx，c为给定整数(2)模n加群的自同态：fk(x)

16、=(kx)modn,k=0,1,…,n−1(3)G1=,G2=,G1到G2的满同态f:Z→Zn,f(x)=(x)modn2021/8/2210同态核性质同态核kerf={x

17、x∈G1,f(x)=e2}(1)kerf={e1}⇔f为单同态(2)kerf⊴G1，∀a,b∈G1,f(a)=f(b)⇔akerf=bkerf2021/8/2211同态核性质的证明(2)证：(i)显然kerf非空.∀a,b∈kerf,f(ab−1)=f(a)f(b)−1=e2e2−1=e2⇒ab−1∈kerfkerf为G1的子群，下面证明正规性.(ii)∀g

18、∈G1,∀a∈kerf,f(gag−1)=f(g)f(a)f(g−1)=f(g)f(g−1)=f(e1)=e2(iii)f(a)=f(b)⇔f(a)–1f(b)=e2⇔f(a−1b)=e2⇔a−1b∈kerf⇔akerf=bkerf2021/8/2212同态核性质应用例设f为G1到G2的同态,则f−1(f(a))=akerf,证a∈G1,x∈f−1(f(a))⇔f(x)=f(a)⇔f(a)−1f(x)=e2⇔f(a−1x)=e2⇔a−1x∈kerf⇔x∈akerf2021/8/2213商群定义商群G/H={Ha

19、a∈G},其中H⊴G定义运算HaH

20、b=Hab说明：良定义性质：Ha=Hx,Hb=Hy⇒Hab=Hxy可结合He是单位元Ha-1是Ha的逆元2021/8/2214商群的性质性质：

21、G/H

22、=[G:H]，商群的阶是

23、G

24、的因子．

25、G

26、=

27、H

28、

29、G/H

30、=

31、H

32、[G:H]保持群G的性质：交换性，循环性等.2021/8/2215同态基本定理(1)H为G的正规子群，则G/H是G的同态像(2)若G’为G的同态像（f(G)=G’），则G/kerf≅G’.例：G1=,G2=,G1到G2的满同态f:Z→Zn,f(x)=(x)modn2021/8/2216同态基本定理推论(同态基本

33、定理)若G’为G的同态像（f(G)=G’），则G/kerf≅G’.

34、f(G)

35、整除于

36、G

37、2021/8/22