8.3同余关系与商代数

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1、同余关系同余关系是比较重要的关系，它建立在一个代数系统和载体上的等价关系。同余关系：设V=是一个代数系统，*是二元运算，R是S上的一个等价关系。如果对任意的∈R，∈R，(a1,a2，b1,b2∈S)，都有∈R，则称R为S上关于运算*的同余关系。由这个同余关系将S划分成的等价类就称为同余类。推广的同余关系的定义设V=是一个代数系统，*是n元运算(n≥0)，R是S上的一个等价关系。如果对任意的∈R，∈R,…,∈R，都有

2、<*(a1,a2,…,an)，*(b1,b2,…,bn)>∈R，则称R为S上关于运算*的同余关系。由这个同余关系将S划分成的等价类就称为同余类。a1a2b1b2[b1]EⅡⅠⅢ[a1]E[a1оb1]E[a1оb1]E例1：代数系统，其中＋×是普通的加法和乘法。假设Z中有一个等价关系R：对任意的x,y∈Z，

3、x

4、=

5、y

6、xRy。试分别讨论对＋和×运算，等价关系R是否具有代换性质。二元运算的同余关系例2代数系统，其中×是一元运算,定义为:iZ,×i=i2(modm)(mZ+)Z上的等价关系R={

7、1,i2>

8、i1(modm)=i2(modm)},证明对×而言，R是Z上的同余关系。一元运算的同余关系例3(P191例定理8.3.1)：设f是从到的同态映射，在A上定义一个二元关系R：∈Rf(x)=f(y)，那么R是A上的同余关系。V1到V2的同态映射V1载体上的同余关系商代数设V1=是一个代数系统，E是S上的同余关系。构造一个新的代数系统V2=，①其中S/E={[x]E

9、x∈S}，②◎为：x,y∈S,[x]E◎[y]E=[x※y]E则称V2是V1关于E的商代数，简称为商

10、代数记为V2=V1/E。同态、同余与商代数的联系Ⅰ.V1到V2的同态映射ÞV1上的同余关系。Ⅱ.V1上的同余关系EÞV1的商代数V2=V1/EⅢ.V1和其商代数V2=V1/EÞ从V1到V2的满同态（从V1到V2的自然同态）Ⅳ.商代数同态基本定理商代数同态基本定理U=V=f(满同态)已知：U到V的满同态可得：1.U上的同余关系EU/E=2.U的商代数U/Eh(同构)4.U/E到V的同构映射3.U到U/E的同态映射（自然同态）g(自然同态)作业213页8.98.10