第四节 同余关系与商代数(congruence relation and

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1、第四节同余关系与商代数(CongruenceRelationandQuotientAlgebra)1©PekingUniversity主要内容一、同余关系(Congruencerelation)1.同余关系与同余类2.同余关系的实例二、商代数(Quotientalgebra)1.商代数定义2.商代数性质三、同态映射、同余关系与商代数之间的联系第4节同余关系与商代数2©PekingUniversity同余关系在代数系统中有一种很重要的关系－同余关系。它在化简运算过程中具有十分重要的作用。1.例子:计算与相加时，很少将这两个分数直接通分再相加,而是先对它们进行约分后，再通分相加，即用

2、代替，用代替用＋代替，这个过程说明了：＝＝(＋)＝(＋)实际上，我们将所有分数按照数值相等关系“＝”（等价关系），进行划分，可以看出：3©PekingUniversity＋＋…………因为和属于这个等价类。而和属于这个等价类。＋＋和都属于。实际上，任取x∈，y∈,都有x+y∈。＋的上述性质，就是代数系统中，运算的“置换性质”4©PekingUniversity“置换性质”定义：代数系统U＝，是X上的二元运算，设E是X上的等价关系，对任何x1,x2,y1,y2∈X,有x1Ex2y1Ey2(x1y1)E(x2y2)则称对于运算，相对等价关系E,具有置换性质。例如

3、：＝＝(＋)＝(＋)代数系统的“置换性质”在运算过程中是非常重要的。同余关系及同余类的定义：设U＝是个代数系统,是X上的二元运算,E是X中的等价关系，如果相对E满足置换性质，则称E是代数系统U中的同余关系。商集X/E中的等价类，称之为同余类。5©PekingUniversity同余关系与同余类6©PekingUniversity例:15.26设代数系统V=,其中A={a/b

4、a,bRb0},为普通乘法，-为求相反数，且a/b=a/b2，在A上定义等价关系，任意a/b,c/dA，a/bc/dad=bc下面检查对V中运算是否具有置

5、换性质。P234:例15.267©PekingUniversity同余关系的实例8©PekingUniversity商代数定义9©PekingUniversity商代数的良定义性10©PekingUniversity商代数的性质设代数系统V,R是V上的同余关系，V关于R的商代数V/R，那么(1)V/R保持V的下述性质：交换、结合、幂等、分配、吸收律(2)V/R保持V的单位元、零元、逆元，即[e]是商代数的单位元[]是商代数的零元a的逆元为a-1,则[a]的逆元为[a-1](3)消去律不一定保持.例如有消去律，定义等价关系如下：xRyxy(mod4).商代数为V/R=

6、<{[0],[1],[2],[3]},>.没有消去律.[2][2]=[0][2],但是[0][2].11©PekingUniversity同态映射导出同余关系商代数是原代数的同态像通过自然映射同态基本定理：代数系统的同态像同构于它的商代数同态、同余关系与商代数之间的联系12©PekingUniversity同态映射导出同余关系13©PekingUniversity实例14©PekingUniversity商代数是原代数的同态像15©PekingUniversity自然映射:f:AA/R,f(a)=[a]R,R为A上等价关系只有恒等关系才是单射16©PekingUniver

7、sity同态基本定理FundamentalTheoremofHomomorphism17©PekingUniversity同态基本定理的证明--证良定义和函数双射证：设V1关于同余关系R的商代数为V1/~定义h：A/Rf(A),h([a])=f(a)任取a,bA[a]=[b]aRbf(a)=f(b)h([a])=h([b])从而h为良定义的，也是单射的.任取yf(A),存在xA使得f(x)=y,所以有[x]A/R,满足h([x])=f(x)=y，因此h为满射的.18©PekingUniversity同态基本定理的证明（续）--证h是同态映射19©PekingUniv

8、ersity同态、同余关系与商代数的联系20©PekingUniversity例题21©PekingUniversity例题（续）例4设为代数系统，,AB,Ra=c(1)证明R为V1V2上的同余关系(2)证明(V1V2)/RV1证明思路：(1)证明R的自反、对称、传递性(2)证明R具有置换性质，即令V1V2=,证R且Ra=c且a’=c’