2、△′,k′>是具有相同构成成分的代数,h是一个函数。如果满足(1)h∶S→S′；(2)对所有a，b∈S,均有h(a*b)=h(a)*′h(b)；(3)对所有a∈S均,有h(△a)=△′h(a)；(4)h(k)=k′；则称h是从A到A′的同态,称为A在映射h下的同态象。在h作用下，A的每一运算都保持，简称为运算保持一、同态与同构同态的分类:根据函数h的特点，可将同态分成如下几类：(1)如果h是单射，那么称h是单一同态;(2)如果h是满射的,那么称h是满同态;(3)如果h是双
3、射的,那么称h是从A到A′的同构;(4)如果A=A′,那么称h是自同态;(5)如果A=A′且h是同构,那么称h是自同构。一、同态与同构同态的图示:hA=同态象A'=h是从A到A′的同态,称为A在映射h下的同态象一、同态与同构例1(a)：R＋：正实数集，R：实数集，试证明：与同构。证明：设f∶R＋→R,f(x)=logx,由于(1)证明f∶R＋→R双射。易见f∶R＋→R单
4、射,因为对数函数单调增加；f∶R＋→R满射：任意y∈R,存在x=ey∈R＋,使得f(x)=logey=y;(2)运算保持。对所有x，y∈R,均有f(x·y)=log(x·y)=logx+logy=f(x)+f(y)；(3)常元运算保持。f(1)=log1=0。所以与同构。一、同态与同构例1(b)：集合A={1,2,3,4},函数f∶A→A,f={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,1>},f0表示A上的恒等函数；f1表示f；f2表示合成函数f·f；f3表示f2·f；
5、f4表示f3·f；则f4=f0。设F={f0,f1,f2,f3},则代数可以用左下方的运算表给定,这里f0是么元。集合N4={0,1,2,3},+4是模4加法,代数用右下方的运算表给定,这里0是么元。试证明这两个代数同构。·f0f1f2f3f0f0f1f2f3f1f1f2f3f0f2f2f3f0f1f3f3f0f1f2+4012300123112302230133012一、同态与同构例1(b)证明：，F={f0,f1,f2,f3};，
6、N4={0,1,2,3}作映射h∶F→N4,h(fi)=i(i=0,1,2,3)(1)h∶F→N4双射；(2)h(f0)=0；(3)任取fi，fj∈F，i，j∈N4,因为h(fi)=i，h(fj)=j,所以h(fi·fj)=h(fi+j)=h(f(i+j)mod4)=(i+j)mod4=i+4j=h(fi)+4h(fj)。所以,代数和同构。一、同态与同构例1(c)：证明代数和是不同构的。证明：使用反证法。假设h是从到的一个同
7、构。因为h是从N到I+的一个满函数,必有x∈N(x≥2)和某质数p(p≥3),使h(x)=p(I+中有无限多的质数),因此有以下式子成立：p=h(x)=h(x+0)=h(x)·h(0)(1)p=h(x)=h((x-1)+1)=h(x-1)·h(1)(2)但因为p是一质数,唯一的因子是p和1,根据(1),h(x)=1或h(0)=1;根据(2),h(1)=1或h(x-1)=1。因为0＜1≤x-1＜x,所以，在映射h下,1至少是两个元素的象,得出h不是双射函数,因此和不同构。一、同态与
8、同构定理1：设h是从A=到A′=的同态,那么A的同态象是A′的子代数。证明：为证同态象是A′的一个子代数,只要证明:(1)h(S)⊆S′。这从h:S→S′函数的事实得出。h(S)⊆S′(2)据同态定义,h(k)=k′,因为k∈S,得出k′=h(k)∈h(S),即k′∈h(S)。(3)h(S)关于运算*′是封闭的。因为如果a,b∈h(S),那么存在x、y
