《群同态基本定理》PPT课件.ppt

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1、§8.3.2同态与不变子群定义1f：G→H是一个群同态映射称像为H的单位元eH的G的所有元素的集合为同态映射f的核。记为kerf，即kerf={g

2、f(g)=eH}例1，f：C→R，f(z)=

3、z

4、，z∈C则f是同态映射，并求kerf解：f(z1z2)=

5、z1z2

6、=

7、z1

8、

9、z2

10、=f(z1)f(z2)定理1设f：G→H是一个群同态映射，则（1）kerf是G的不变子群。（2）Imf是H的子群（留作作业）证（1）a,b∈kerf，f(a)=f(b)=eH则f(ab)=f(a)f(b)=eHeH=eH∵f(a-1)f(a)=f(eG)=eH∴ab∈kerf，f(a-1)=(f(a))-1=∴k

11、erf为子群f(g-1ag)=f(g-1)f(a)f(g)=f(g-1)f(g)=f(g-1g)=f(eG)=eH∴g-1ag∈kerf，于是kerf是不变子群定理2设H是群G的不变子群，规定f:G→G/H,则f是G→G/H的满同态映射且kerf=H证明：∵H是不变子群，∴G/H是一个群（1）满射（2）同态（3）kerf=H：G/H中的单位元定理3设f是G→H的群同态映射（1）f是单同态当且仅当kerf={eG}（2）除了{eG}和G本身外，没有其他不变子群，则f是单同态或零同态证明：(1)必要性：∵f是单射，f(eG)=eH,，f(a)≠eH∴kerf={eG}充分性：∵kerf={eG}

12、，，若f(g1)=f(g2)，则f(g1g2-1)=f(g1)f(g2-1)=f(g1)(f(g2))-1=f(g1)(f(g1))-1=eH即g1g2-1∈kerf={eG}，∴g1g2-1=eG→g1=g2,∴f单（2）由定理1kerf是G的不变子群，G的不变子群只有{eG}和G∴kerf={eG}则f单同态kerf=G则f零同态定理4(群同态基本定理)设f是G→H的群同态，令K=kerf，则G/K≌Imf证明：φ：G/K→Imf，φ(Kg)=f(g)(1)φ是映射设Kg1=Kg2g1g2-1∈K=kerf∴f(g1g2-1)=f(g1)(f(g2))-1=eH∴f(g1)=f(g2)→

13、φ(Kg1)=f(g1)=f(g2)=φ(Kg2)(2)φ同态φ(Kg1Kg2)=φ(Kg1g2)=f(g1g2)=f(g1)f(g2)=φ(Kg1)φ(Kg2)(3)φ是单射设φ(Kg)=eHf(g)=eHg∈kerf=KKg=K∴kerφ=K(G/K的单位元)，由定理3φ是单射(4)φ是满射使f(a)=b，Ka∈G/K，而φ(Ka)=f(a)=b∴φ是满射∴G/K≌Imf推论1设f是G→H的一个群满同态，则有G/kerf≌H例2G=(a)={e，a，a2，…，a11}H=(b)={e，b，b2，…，b5}f:G→H，f(an)=b2n则f是群同态，kerf={e，a3，a6，a9}G/k

14、erf≌Imf={e，b2，b4}定理5设G和H是两个群，且存在一个G→H的满同态f，则在f之下(1)G的一个子群G1的像H1是H的子群(2)G的一个不变子群G2的像H2是H的不变子群(3)H的一个子群H3的逆像G3是G的子群(4)H的一个不变子群H4的逆像G4是G的不变子群证明：(1)，使h1=f(g1)h2=f(g2)(2)∴H2是不变子群(3)(4)同态满射下，子群和不变子群的性质不变因此定理1是定理5的特例例3，设G，H分别是阶数为m，n的循环群证明：存在G→H的一个满同态n

15、m证明：设f是G→H的满同态，同定理4，G/kerf≌H∴

16、G/kerf

17、=

18、H

19、=n由于

20、G/kerf

21、=

22、反之，若n

23、m，G=(a)，H=(b)定义f:G→H，f(ak)=bk,则f是G→H的满射，且∴同态满态例4如果G和H都是有限群，其阶互素，则只存在一个G→H的同态映射证明：设f是G→H的同态映射，令k=kerf由同态基本定理知:例7G是循环，N是G的子群。则G/N也是循环群。证明：G是交换群，N是不变子群设G=(a)∵Ng∈G/N∴(Ng)是G/N的子群作业