正规子群和商群.ppt

《正规子群和商群.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第8节正规子群和商群定义例子等价条件商群这一节里要讲到一种重要的子群，就是正规子群．给了一个群，一个子群，那么的一个右陪集未必等于的左陪集，这一点我们在上一节的例２里已经看到．伽罗华在180年多前发现，对任意群G，H是G的任一子群，a为G中任一元，则aH与Ha未必相等，但对于能使aH=Ha成立的子群H则具有特别重要的意义，他把这类子群叫做正规子群（也叫不变子群），由它可以定义一种和G相关的新群—商群.定义1则称是群的一个正规子群（或不变子群）.记作例1任意群的两个平凡子群都是正规子群.例2交换群的子群都是正规子群.例3任意群称为的中心.证明：注：含于群的中心的子群都是正规

2、子群.中心是正规子群吗？例4因为所以是因为不是所以的不变子群.的不变子群.解：定理设，则是的正规子群,有，,有,有,有由前面讨论可知：由不变子群确定的群的左右陪集分解是一回事，即由此得到的左右商集是一致的。，关于子集乘法做成群吗？问：关于乘法做成群.定理：且称为关于的商群.,有左单位元⑤,每个元有逆元.①，故非空；②乘法运算是封闭的（该乘法是代数运算）：③，有结合律；④；证明：对于商群：商群的阶＝2)如果是有限群,则商群的阶＝＝3)有限群的商群还是有限群,且其任一商群的阶是群阶数的因数.为商群的单位元,为的逆元.,则4)6)循环群的任一子群为不变子群，任一商群为循环群,且

3、循环群的子群为循环群，故所以为循环群.都是循环群.证明：设，因循环群为交换群，5)交换群的任一子群都是交换群,且其商群也是交换群.从商群的角度重新认识剩余类加群第一，回忆剩余类加群。第二，重新认识。设性质1群的任何两个不变子群的交还是的不变子群.证明：首先由前面可知它是子群；而且性质2不变子群与子群的乘积是子群；性质3不变子群与不变子群的乘积是不变子群.（留作练习）我们知道“子群”的概念具有传递性:，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？例不是的不变子群.，但未必是群，即无传递性.的不变子注：设为整数加群,（1）证明；（2）求补例1假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明，

4、HN是G的子群.证明：性质2证明Thanksamillion