近世代数课件--2.10 不变子群,商群

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1、§10.不变子群、商群10.1定义10.2例子10.3等价条件10.4商群10.1定义这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群．给了一个群，一个子群，那么的一个右陪集未必等于的左陪集，这一点我们在上一节的例２里已经看到．一个不变子群的一个左(或右)陪集叫做的一个陪集.意味着:吗?反过来呢?在元素间意味着什么?不变子群又称为正规子群注1.注2.注3.注4.定义一个群的一个子群叫做一个不变子群,假如对于的每一个元来说,都有10.2例子例１一个任意群的子群和总是不变子群，因为对于任意的元来说，例２刚好包含群的所有有以下性质的元，，不管是的哪一个元证明:是的一个不变子群．证明:

2、.的每一个元可以同的每一个元交换，所以，即是不变子群．(1)是子群.因为，所以是非空的．这就是说，是一个子群．，又这个不变子群叫做的中心．例３一个交换群的每一个子群都是不变子群．因为的每一个元可以和任意一元交换，，所以对于一个子群来说，例４．那么，，是一个不变子群．从这个例子可以总结出一般性结论吗?注5.10.3等价条件现在复习一下群的子集的乘积:设A，B是群的两个非空子集,规定，容易证明:，由于结合律成立,，，…，的乘积用符号来表示．定理１一个群的一个子群是一个不变子群的充分而且必要条件是：对于的任意一个元都对．证明…………证完注5.可以换成?证明这个条件的必要性是显然

3、的，是定理１的直接结果．我们证明它也是充分的．定理２一个群的一个子群是一个不变子群的充分而且必要条件是：，条件意味着（＊）因为也是的元，在（＊）中以代,…………证完要测验一个子群是不是不变子群，用定理２的条件一般比较方便．注6.用定理２的条件可以改写成，注7.等价于注8.等价于‥‥‥？？注9.小结:群的一个子群,，.下面条件等价:1.2.3.4.注意:不变子群不具有传递性.10.4商群不变子群所以重要，是因为这种子群的陪集，对于某种与原来的群有密切关系的代数运算来说，也作成一个群．我们看一个群的一个不变子群的所有陪集作成一个集合相对:是一个元素,相对:是一个子集.(2)有

4、不同的表示方式.的子集的乘积,计算两个陪集和的成绩定理３一个不变子群的陪集对于上边规定的乘法来说作成一个群．证明我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ能被满足．Ⅰ．显然．Ⅱ．Ⅳ．是单位元,因为Ⅴ有逆元,因为证完定义一个群的一个不变子群的陪集所作成的群叫做一个商群．这个群我们用符号来表示．因为的指数就是的陪集的个数，我们显然有，商群的元的个数等于的指数．当是有限群的时候，从商群的角度重新认识剩余类加群第一，回忆剩余类加群。第二，重新认识。设作业:P74:2,3,4