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1、7.5正规子群、商群与群的同态基本定理定义7.5.1设H为群(G,∘)的一个子群，若对任意的a∈G，都有aH=Ha，则称H为G的正规子群（或不变子群）。若G为交换群，则G的每个子群都是G的正规子群；反之，由aH=Ha，不能说明元素a与H中的每个元素都可交换。一般的群G，至少有两个正规子群，一个是G的最小子群{e}，另一个是G的最大子群G自身。这两个子群称为平凡的正规子群。7/15/2021数学与计算科学学院例7.5.1设(G,∘)是一个群，令Cg={c
2、c∈G,c∘g=g∘c,∀g∈G}，则Cg是G的正规子群。证由e∈Cg知，Cg是G的非空子集
3、。对a,b∈Cg,g∈G,因(a∘b)∘g=a∘(b∘g)=a∘(g∘b)=(a∘g)∘b=(g∘a)∘b=g∘(a∘b)，又a-1∘g=(g-1∘a)-1=(a∘g-1)-1=g∘a-1，所以a∘b,a-1∈Cg，故Cg是G的子群。对a∈G，由于aCg={a∘c
4、c∈Cg}={c∘a
5、c∈Cg}=Cga,因此Cg是G的正规子群。7/15/2021数学与计算科学学院例7.5.2H={(1),(12)}是三次对称群S3的子群，但不是正规子群。因为(13)H≠H(13)，(23)H≠H(23)，若取A={(1),(123),(132)}，容易验证:
6、A是S3的子群，并且是由(123)生成的循环子群。又因为(1)A=(123)A=(132)A=A(1)=A(123)=A(132)={(1),(123),(132)}(12)A=(13)A=(23)A=A(12)=A(13)=A(23)={(12),(13),(23)}因此A是S3的正规子群。7/15/2021数学与计算科学学院定理7.5.1群(G,∘)的一个子群H是正规子群的充要条件是：对于∀g∈G，都有gHg-1=H。“⇒”gHg-1=(gH)g-1=(Hg)g-1=Hgga-1=He=H“⇐”gH=(gH)e=gH(g-1g)=(gHg-
7、1)g=Hg定理7.5.2群(G,∘)的一个子群H是正规子群的充要条件是：对于∀g∈G，h∈H，都有ghg-1∈H。“⇒”由定理7.5.1即可得。“⇐”ghg-1∈H⇒gHg-1⊆H⇒H=a(a-1Ha)a-1⊆a-1Ha=gHg-17/15/2021数学与计算科学学院若H是群(G,∘)正规子群，则H的右(或左)陪集称为H的陪集。若H是群(G,∘)正规子群，则G关于∼的商集记作G/H，即由H的陪集构成的集合，并且∼是(G,∘)上的同余关系。定义G/H上的运算⊙如下：Ha⊙Hb=H(a∘b),a,b∈G于是(G/H,⊙)是一个群，称为(G,∘)关
8、于正规子群H的商群。当G为有限群时，有
9、G
10、/
11、H
12、=
13、G/H
14、7/15/2021数学与计算科学学院定理7.5.3任意一个群(G,∘)的商群(G/H,⊙)都是(G,∘)的满同态像。自然同态f:G→G/H,g→Hg是一个满同态。研究子群H的一个作用就是可以通过H来推测整个群G的性质。如果现在是一个正规子群H的话，那么就有两个群，正规子群H以及商群G/H可以利用了。7/15/2021数学与计算科学学院定义7.5.2设f是从群(G,∘)到群(G’,*)的一个满同态，则称G’的单位元i在f下的原像构成的G的子集{g
15、f(g)=i,g∈G}为满同态f的核
16、，记为Kerf。例如，f(x,y)=x是从群(R2,+)到群(R,+)的满同态,群(R,+)的单位元是0Kerf={(x,y)
17、f(x,y)=0}={(0,y)
18、y∈R}7/15/2021数学与计算科学学院定理7.5.4若f是从群(G,∘)到群(G’,*)的一个满同态，则Kerf是(G,∘)的正规子群，并且(G/Kerf,⊙)≅(G’,*)。例.如前例f(x,y)=x，Kerf={(0,y)
19、y∈R}。R2/Kerf={[x]
20、x∈R},[x]={(x,y)
21、y∈R}[a]⊕[b]=a+b(R2/Kerf,⊕)≅(R,+)7/15/2021数学
22、与计算科学学院定理7.5.5若f是从群(G,∘)到群(G’,*)的一个同态，并且H是(G,∘)的子群，则H的像f(H)是群(G’,*)的子群；若f是满同态，则(G,∘)的正规子群N的像f(N)是群(G’,*)的正规子群。定理7.5.6若f是从群(G,∘)到群(G’,*)的一个同态，并且H’和N’分别是(G’,*)的子群和正规子群则H’和N’的原像H=f-1(H’)和N=f-1(N’)分别是(G,∘)的子群和正规子群。7/15/2021数学与计算科学学院
