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《近世代数课件--2.8 子群》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§８．子群8.1定义与例8.2等价条件8.3生成子群8.4子群的运算8.1定义与例讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个群．假如由里取出一个非空子集来，那么利用的乘法可以把的两个元相乘．对于这个乘法来说，很可能也作成一个群．定义一个群的一个非空子集叫做的一个子群，假如对于的乘法来说作成一个群,用符号表示．例１给了一个任意群，至少有两个子群：１．；２．只包含单位元的子集．例２，，．那么是的一个子群．因为：Ⅰ．对于的乘法来说是闭的，，，，；Ⅱ．结合律对于所有的元都对，对于的元也对；Ⅳ．；Ⅴ．，．更多的
2、例子……注1:的乘法必须是的乘法注2:验证是子群时有些条件可以省略.8.2等价条件引理:设,那么(1)(2),对于中运算定理１一个群的一个不空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：（ⅰ）（ⅱ）证明若是（ⅰ），（ⅱ）成立，作成一个群．Ⅰ．由于（ⅰ），是闭的；Ⅱ．结合律在中成立，在中自然成立；Ⅳ．因为至少有一个元，由（ⅱ），也有元，所以由（ⅰ），Ⅴ．由（ⅱ），对于的任意元来说，有元，使得反过来看，假如是一个子群，（ⅰ）显然成立．我们证明，这时（ⅱ）也一定成立．证完■（ⅰ），（ⅱ）两个条件也可以用一个条件
3、来代替．定理２一个群的一个不空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：（ⅲ）证明I.我们先证明，（ⅰ）和（ⅱ）成立，（ⅲ）就也成立．假定，属于，由（ⅱ），，由（ⅰ），II.现在我们反过来证明，由（ⅲ）可以得到（ⅰ）和（ⅱ）．假定．由（ⅲ），，于是（ⅱ）成立假定，．由刚证明的，；由（ⅲ），,即(i)成立证完■假如所给子集是一个有限集合，那么作成子群的条件更要简单．定理３一个群的一个不空有限子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：证明这个条件是必要的，无须证明．我们证明它是充分的．因为是有限集合，我们使用
4、有限的定义证明.8.3生成子群现在我们要认识一种找一个子群的一般方法．我们在一个群里任意取出一个非空子集来，包含元，，，，….那么当然不见得是一个子群,但是我们可以把扩大一点，而得到一个包含的子群．利用的元以及这些元的逆元我们可以作各种乘积，比方说，，，，，等等．设集合刚好包含所有这样的乘积,可以证明:(1).作成一个子群．因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积，一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积,由定理１，(2)对任何一个包含的子群,一定包含．这一点容易看出：既是一个子群，它又包含所有的元，
5、，，…，Ⅰ，Ⅱ，两个条件，因而根据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积；这就是说，．由(1)和(2)，是包含的最小的子群．定义如上得到的叫做由生成的子群，我们用符号来表示它．假如我们取一个只包含一个元的子集，那么是一个循环子群．例3生成子群很复杂,给出一些简单的例子8.4子群的运算两个子群的交仍然是子群两个子群的并不一定是子群群的子集的运算容易证明:,,设A，B是群G的两个非空子集,规定等价条件的另外表达定理1’一个群的一个不空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：（ⅰ）（ⅱ）定理２’一个群的
6、一个不空子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：（ⅲ）定理3’一个群的一个不空有限子集作成的一个子群的充分而且必要条件是：证明:仅证明定理1设H是G的子群,那么,(??)另一方面,,所以,注意:,所以.反过来,构成的一个子群.子群的乘积例4两个子群的乘积一般不是子群.S3中，H={(1),(12)}N={(1),(13)},HN={(1),(13),(12),(132)}不是子群定理4设H,K是G的两个子群,那么HK是子群HK=KH证明:如果HK是子群,那么(HK)-1=HK,同时,(HK)-1=K-
7、1H-1=KH,所以HK=KH反过来,如果HK=KH(HK)(HK)=(HK)(KH)=…….=HK(HK)-1=K-1H-1=KH=HK注:HK=KHhk=kh(k,h分别属于K和H)??作业:P64-65:2,3,4
