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1、近世代数课程论文近世代数课程论文子群的乘积是子群的判定条件姓名李洋洋学号P091712744班级2009数学与应用数学指导教师苏金林日期2010年10月30日9近世代数课程论文前言群论有着悠久的历史，现在已发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数乃至整个数学中都占有重要地位。在十九世纪初，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被挪威青年数学家阿贝尔（Abel,1802-1829）和法国青年数学家伽罗瓦（Galois,1811-1832）所彻底
2、解决。它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用。因此可以说,阿贝尔和伽罗瓦是群论和近世代数的真正创始人。然而群的范围之广泛，给我们的研究又带来诸多不便，为了解决这一问题，人们引入了子群的概念，至此，群论的全部内容都在不同程度上和子群有着联系。特别地，有时我们将根据子群的各种特征来对子群进行分类，即根据子群的性质来研究的群的相关性质，这是研究群的重要方法之一。本文将着重研究子群的相关性质，特别是对群的子群的乘积是不是子群的问题进行讨论。本文分为三个部分:第一部分，包括准备知识在内的
3、群、群的阶，群的子群等基本概念，它是研究子群的乘积是不是子群的基础；第二部分，包括对群的子群的乘积是不是子群的问题的讨论，你将看到，在一般情况下，群的子群的乘积不再是子群，而在一定条件群的子群的乘积可以是子群；第三部分，包括对几种重要子群的介绍，他们是研究群论的基础和方向。本人才疏学浅，文中难免会有诸多纰漏甚至是错误之处，尽请批评指正。9近世代数课程论文第一篇群群的阶子群（一）群群是一种叫简单并且最重要的代数系统它只带有一个代数运算。我们知道，所谓一个集合G的代数运算就是一个G——G的映射。定义1令
4、G是一个非空集合，它带有一个代数运算（°），对于G中任意的两个元素a、b，都有G中唯一的元素ab与之相对应，叫做a与b的积。我们称G做成一个群，如果G满足下面的条件：（1）对G中任意的元素a,b,c都有（a°b）°c=a°（b°c）（结合律成立）；（2）G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中的任意元素a都有e°a=a；（3）对G中任意元素a，在G中都有元素a-1,叫做a的左逆元，使a-1°a=e。如果对于群G中的任意两个元素a、b均有a°b=b°a,即G的代数运算满足交换律，则称G为交换群或Abe
5、l群，否则称G为非交换群或非Abel群。例1全体不为零的有理数所作成的集合Q*，对于数的乘法作成一个群。同样地，全体不为零的实数所做成的集合R*以及全体不为零的复数所做成的集合C*对于数的乘法均作成一个群。9近世代数课程论文例2设n是一个正整数。令Un={x∈C
6、xn=1},即全体n次单位根所组成的集合。容易验证，Un对于数的乘法作成一个群，我们把这个群叫做n次单位根群。根据群的定义，我们还可以定义群的右单位元和右逆。我们将看到，群的左单位元合群的右单位元相等，左逆与右逆相等。定理1群G的左单位元也
7、是右单位元；左逆也是右逆，即a-1a=aa-1=e；ea=ae=e。证明：（1）因为a-1∈G，故a-1在G中也有左逆元a’,由此可得aa-1=e（aa-1）=(a’a-1)(aa-1)=a’[(a-1a)a-1]=a’(ea-1)=a’a-1=e从而a-1a=aa-1=e以后称a-1为a的逆元。（2）因为ae=a（a-1a）=（aa-1）a=ea=a，故有ea=ae=e以后称e为群G的单位元。定理2群G的单位元和每一个元素的逆元均唯一。证明：设e、e’都是群G的单位元，那么有e=ee’=e’.设e
8、是单位元，a∈G，a和a”都是a的逆元，那么有9近世代数课程论文aa’=e,a”a=e，所以有a’=ea’=(a”a)a’=a”(aa’)=a”e=a”.原命题得证。推论群中消去律成立，即ab=ac则b=c;ba=ca则b=c.证明显然，从略。（二）群的阶定义1设G为群，a∈G，使an=e的最小正整数n，称为元素a的阶，即为
9、a
10、=n。若这样的n不存在，则称元素a的阶为无限（或为零），如：在正有理数群Q+中除单位元的阶是1外，其余元素的阶均为无限。以下是有关群的阶的相关性质（1）有限群中每个元素的阶
11、均有限。（2）设群G中元素a的阶为n，则am=e<=>n
12、m，（3）设群G中a的阶是n，则
13、an
14、=n/(k，n)，其中k为任意的整数，（4）设群G中
15、a
16、=st，则
17、as
18、=t，其中s，t为正整数，（5）设群G中
19、ak
20、=n<=>(k，n)=1.（6）
21、a
22、、
23、b
24、与
25、ab
26、各种关系及例子，特别是：9近世代数课程论文（
27、a
28、*
29、b
30、）=1，ab=ba=>
31、ab
32、=
33、a
34、
35、b
36、。（7）若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶全是m的因子。（8）由元素a的
