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1、西北民族大学数学与计算机科学学院研究群的子群的乘积是子群的判定条件摘要本次论文研究的题目是子群与子群的乘积是子群的充要条件是什么，所以我们首先要了解子群的定义。子群，子群！从字面意义上知子群是群的一个子集，所以又必须知道群的定义。在了解群与子群的定义后，再发现群与子群的性质，掌握群的代数运算，子群与子群之间的代数运算。现在我所研究的是在已经知道子群与子群的乘积是子群的充要条件下，研究三个子群的乘积是子群的充要条件。关键字：群子群子群与子群的乘积一、群的定义定义1设G是一个非空集合，⊕是它的一个代数运算，如果满足一下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素
2、a,b,c都有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c);Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e⊕a=a;Ⅲ.对G中每个元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使b⊕a=e;则称G对代数运算⊕作成一个群。如果对群G中任二元素a,b均有a⊕b=b⊕a,即G的代数运算满足交换律，称G为交换群（可换群）或Abel群。否则称G为非交换群（非可换群）或非Abel群。例如，显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群，分别称其为非零有理数群和正有理数群。但应注意，整数集Z对于数的普通乘法不能作成群。因为，尽管普通乘法是Z的代数运算，并且满足
3、结合律，也有左单位元1，但是，出去1和-1外其他任何整数在Z中都没有左逆元。例1设G为整数集，问：G对运算a⊕b=a+b+4是否作成群？解由于对任意整数a,b，显然a+b+4为a与b惟一确定的整数，故所给运算⊕是G的一个代数运算。其次，有(a⊕b)⊕c=(a+b+4)⊕c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8.同理有a⊕(b⊕c)=a+b+c+8.因此，对G中任意元素a,b,c有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),即代数运算⊕满足结合律。又因为对任意整数a均有（-4）⊕a=-4+a+4=a,故-4是G的左单位元。最后，由于（-8-a）⊕a=-8-a+a+
4、4=-4近世代数课程论文11西北民族大学数学与计算机科学学院故-8-a是a的左逆元。因此，整数集G对代数运算⊕作成一个群。二、群的性质性质1一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群；否则称为无限群。定理1群G的元素a的左逆元a也是a的一个右逆元，既有aa=aa=e.证因为a∈G，故a在G中也有左逆元，设为a,即aa=e.由此可得aa=e(aa)=(aa)(aa)=a[(aa)a]=a(ea)=aa=e.从而aa=aa=e.以后称a为a的逆元。定理2群G的左单位元e也是G的一个右单位元，即对群G中任意元素a均有ea=ae=a.证因为ae=a(aa)=(a
5、a)a=ea=a,故ea=ae=a.以后称e为群G的单位元。定理3群G的单位元及每个元素的逆元都是惟一的。证设e与e都是G的单位元，则根据单位元的定义，有ee=e=e.其次，设a及a都是a的逆元，既有aa=aa=e,aa=aa=e.由此进一步得a=ae=a(aa)近世代数课程论文11西北民族大学数学与计算机科学学院=(aa)a=ea=a,即a=a，a的逆元是惟一的。推论1在群中消去律成立，即ab=ac﹦﹥b=c,ba=ca﹦﹥b=c.证因为ab=ac，所以a(ab)=a(ac),即(aa)b=(aa)c,即b=c.同理，ba=ca﹦﹥b=c.三、子群的
6、定义定义2 设 为群的一个非空子集，G是一个群.如果 对于 的代数运算也构成群,则称 为 的一个子群。 由子群的定义,可以得到子群的下列性质:定理4 设 为 的子群.则 (1) 的单位元 就是子群 的单位元; (2)设,则 在 中的逆元就是 在 中的逆元.证明(1)设为 的单位元,为的单位元,则由于中有消去律,所以从的两边消去得:; (2)设是在中的逆元,是在 中的逆元,则.即,.例1对任意群,本身以及只含单位元的子集关于的运算构成的子群.这两个子群称为的平凡子群.近世代数课程论文11西北民族大学数学与计算机科学学院例
7、2设为一固定整数,令.则为整数加群的子群. 例3整数加群是有理数加群的子群,有理数加群是实数加群的子群.·一个非空子集要成为群的子群,必须满足下列3个条件,缺一不可:(1) 的元素全是的元素;(2) 的代数运算就是的代数运算在 上的限制;(3) 满足群的三个条件. 定理5 设为群的非空子集.则为的子群的充分必要条件是: (1)任给,有; (2)任给,有. 定理6 设为群的非空子集.则为的子群的充分必要条件是:任给,有.证明(必要性)设为群的子群,所以,对任意的 ,
8、有,且. (充分性)如果对任意的,有.则任给,有,进而.所以定理2的条件(2)成立.又任
