近世代数课程论文：群的子群的乘积是子群的判定条件

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1、近世代数课程论文群的子群的乘积是子群的判定条件姓名：周杰学号：P091712723班级：09应数指导老师：苏金林学院：数学与计算机科学学院论文标题：群的子群的乘积是群的子群的判定条件群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地地位。对于这个题目，首先必须知道什么是群？什么是子群？以及它们都有些什么样的性质。（一）群的定义及性质1．群的定义设G是一个非空集合，°是它的一个代数运算，如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意的元素a,b,c都有（a°b）°c=a°（b°c）（2）G中有元素e，叫做G的作单位元，

2、它对G中的每个元素a都有e°a=a（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1,叫做阿的左逆元，使a-1°a=e则称G对代数运算°做成一个群。概括为四点：封闭性，结合律，单位元，逆元。其实群还有一个广泛定义，即半群半群：设S是一个非空集合，如果他有一个代数运算满足结合律，则称S是一个半群。有单位元的的半群称为幺半群，在半群中，左右单位元可能都不存在，可能存在一个，在两个都存在时，二者必相等且为半群唯一的单位元。即然这样，群还有一个等价的定义，即为（1）设G是一个半群，则G做成群的充分必要条件使①G中有右单位元e，即对任意的a∈G，均有ae=a；②G中每个元素a都有右逆元a-

3、1，即a*a-1=e。（2）设G是一个半群，则G做成群的充分条件是：对任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中均有解。（3）有限半群G做成群的充要条件是：在G中两个消去率成立。2.群的性质，（1）群是一个封闭的集合，（2）群中的单位元、逆元都是唯一的。（二）元素的阶及阶的性质1.群中元素阶的定义设G为群，a∈G，使an=e的最小正整数n，称为元素a的阶，即为

4、a

5、=n，若这样的n不存在，则称元素a的阶为无限（或为零），如：再整有理数群Q+中除单位元的阶是1外，其余元素的阶均为无限。2.周期群、无扭群及混合群（1）当群G中每个元素的阶都有限，则称G为周期群，（2）当群G

6、中除e外（阶为1），其余元素的阶均无限，则称G为无扭群（也称为无限群）。特别地：有限群必为周期群，但周期群不一定是有限群。（3）既不是周期群也不是无扭群称为混合群。3.有关元素阶的性质及相关结果（1）有限群中每个元素的阶均有限。（2）设群G中元素a的阶为n，则am=e<=>n

7、m，（3）设群G中a的阶是n，则

8、an

9、=n/(k，n)，其中k为任意的整数，（4）设群G中

10、a

11、=st，则

12、as

13、=t，其中s，t为正整数，（5）设群G中

14、ak

15、=n<=>(k，n)=1.（6）

16、a

17、、

18、b

19、与

20、ab

21、各种关系及例子，特别是：（

22、a

23、*

24、b

25、）=1，ab=ba=>

26、ab

27、=

28、a

29、

30、b

31、

32、。（7）若G是交换群，又G中元素有最大阶m，则G中每个元素的阶全是m的因子。（8）由元素a的阶可以决定ak的阶。当

33、a

34、=∞，则当k为非零整数时，

35、ak

36、=∞（a0=e阶为1）。当

37、a

38、=n，则

39、ak

40、=n/(k,n)。（三）子群的定义、判定定理和性质1.子群的定义设G是一个群，H是G的一个非空子集，若H也是一个群（与G相同的运算），则称H是G的一个子群，记为H≤G。子群包含平凡子群（子群{e}和G）和非平凡子群（除了平凡子群外）。2．子群的判定定理：注ǿ表示空集（1）H⊆G，H≠ǿ，则H≤G的充要条件是：①a，b∈H=>ab∈H。（或HH=H，H-1=H）②a∈H=>a

41、-1∈H。（或HH-1=H）（2）H⊆G，H≠ǿ，则H≤G的充要条件是：a，b∈H=>ab-1∈H，（3）H⊆G，H≠ǿ，则H≤G的充要条件是：HH=H且H-1=H。3．子群的性质（1）设H≤G，则称H的单位元就是G的单位元，（2）H1,H2≤G=>H1⋂H2≤G,（3）H1,H2≤G，则H1⋃H2≤G<=>H1⊆H2或H2⊆H1，（4）H1,H2≤G，则H1H2≤G<=>H1H2=H2H1。（5）若H1≤H2，H2≤G，这由子群判定可得，也说明子群具有传递性。这里H1H2={ab

42、a∈H1，b∈H2},H2H1={cd

43、c∈H2，d∈H1}。有了这些基本条件，我们来研究一

44、些基本的例题。例1，证明：对群中任意元素a，b，有(ab)-1=b-1a-1,又问：(ab……c)-1=？证明：设a，b的逆元分别为a-1，b-1，则由(b-1a-1)(ab)=b-1a-1ab=e,所以有群的定义及定理2.2.1可知(ab)-1=b-1a-1。所以(ab……c)-1=c-1……a-1b-1。例2，设G是一个群，且

45、G

46、>1,证明：若G中除单位元以外，其余元素的阶都相同。则这个相同的阶不是无限就是一个素数。证明：若G中除e外其余元素的阶均无限，则结论显然成立。若G中非e的元素的阶都是n，且n是一个合