子群的乘积是子群的充要条件

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1、子群的乘积是子群的充要条件问题的引入：在《近世代数》第二章的第3节（子群）中，我们知道了一些子群的定义和性质。特别是定理5的给出，使我们有了这样的思考：多个子群在满足哪些条件下，它们的乘积是否还是子群？对于这个问题，我们将在下面对它进行探讨。群的定义为：设Ｇ是一个非空集合，○是它的一个代数运算，如果满足以下条件：1.    结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a○b）○c=a○（b○c）；2.    对G中有元素e，叫做G的做单位元，它对G中的每个元素a都有e○a=a；3．对G中每个元素a，在G中都有元素a－１，叫做a的左逆元，使a－１○a=e；则称G对代数运算○做成一个群.

2、子群的概念是群论中一个基本概念，群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系，特别，有事要根据子群的各种特征来对群进行分类，即根据子群来研究群，这也是研究群的重要方法之一。在代数学中子群的定义为：设G是一个群，H是群G的一个非空子集。如果H本身对Ｇ的乘法也作成一个群，则称Ｈ为群Ｇ的一个子群。课题正文一、群的概论群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要的地位。在19世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被挪威青年数学家阿贝尔和法国青年数学家伽罗瓦所彻底解决。从而推动了数学的发展，

3、其重要意义是不言而喻的。但更重要的是，他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。因此可以说，阿贝尔和伽罗瓦是群伦和近世代数的创始人。在阿贝尔和伽罗瓦之后，人们逐渐发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换——并不重要，重要的是只是在于对任意集合里所规定的带属性质的研究，即对代数系统的研究。这样一个现在看起来很平凡的发现，实际上是一个很大的突破，它的重要意义在于把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去。这样便把群的研究建立在公式化的基础上，使它的理论变得更加严谨和清晰，从而

4、为这一理论的进一步蓬勃发展开辟了广阔的前景。二、群的性质设H是群G的一个非空子集，若H对于G的乘法构成群，则称H为G的子群，记作H≤G.注：对于任意一个群G，都有两个子群：{e}与G。这两个子群称为G的平凡子群。别的子群，如果存在的话，叫做群G的非平凡子群或真子群。性质1一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群；否则称为无限群。定理1群G的元素a的左逆元a也是a的一个右逆元，既有a－１a=aa－１=e.定理2群G的左单位元e也是G的一个右单位元，即对群G中任意元素a均有ea=ae=a.定理3群G的单位元及每个元素的逆元都是惟一的。推论1在群中消去律成立，即ab=ac﹦﹥b=c,ba=

5、ca﹦﹥b=c.三、子群的判定和子群的判定方法1、是群的子群的充要条件为H1H2=H2H设和是群H2}。Î的两个子群,H1H2={h1*h2

6、h1属于H1,H2证是群的子群的充要条件为H1H2=H2H1设H1H2=H2H1，只需证对任意a,b属于有a*b-1属于。由定义知，存在a1,b1属于和a2,b2属于使a=a1a2,b=b1b2。那么，b^(-1)=b2-1*b1-1，由于和都是子群，所以b1^(-

7、1)属于，b2-1属于。这样的话，a*b-1=a1*a2*b2-1*b1-1。由于a2和b2-1都属于H2，所以a2*b2-1也属于H2，记为c。又因为H1H2=H2H1，必存在e,f分别属于H2,H1，使a1*c=e*f，这样的话a*b-1=a1*a2*b2-1*b1-1=a1*c*b1-1=e*f*b1-1又因为f和b1-1都属于H1，所以f*b1-1属于H1，e属于H2，所以a*b-1=e*f*b1-1属于H2H1。又因为H1H2=H2H1，所以a*b-1属于H1H2，所以是群的子群。设是群的子群。设p

8、=a*b为一个H2H1集合中的元素，a属于H2，b属于H1。这样的话，a-1和b-1也分别属于H2和H1，于是p-1=b-1*a-1属于H1H2。又因为是群的子群，所以p=(p-1)-1也属于H1H2，于是H1H2包含H2H1。另一个方向的包含关系可以将上述推理反向而得到。结论就是H1H2=H2H1证毕。例题2设G4＝{p＝

9、pi∈{0，1}}，⊕是G4上的二元运算，证明<{<0，0，0，0>，<1，1，