近世代数 2.11同态与不变子群.doc

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1、§11同态与不变子群一、同态基本定理定理1设G是一个群,NG,则f:a→aN(aG)是G到G/N的同态满射(称f为自然同态).因此G~G/N.定义1设f是群G到的同态满射,的单位元在f之下的所有逆像作成的G的子集叫做同态满射f的核,记为Kerf.Kerf={aG

2、f(a)=}.推论若N是群G的不变子群,f为G到商群G/N的自然同态,则N=Kerf.定理2(群同态基本定理)设f是群G到群的同态满射,N=Kerf,则NG,且G/N.令.则ψ是G/N与间的一个同构映射.aN=bNb-1aNf(b-1a)=f(b)-1f(a)=f(a)=f(b)

3、(ψ(aN)=ψ(bN))例1设G,分别是阶为m,n的有限群,且G~,证明n

4、m.二、子群的同态像定义2设f是集合A到的一个满射.如果SA,则称为S在f之下的像.如果,则称为在f之下的逆像(原像).Kerf={aG

5、f(a)=}=f-1()定理4设群G与同态,那么在同态满射f之下,(i)G的子群H的像是的子群;(ii)G的不变子群N的像是的不变子群.定理5设群G与同态,那么在同态满射f之下,(i)的子群的逆像≤G.(ii)的不变子群的逆像G.三、同构定理介绍定理6(第一同构定理)设群G,,则NG,且证记令则是G到的一个满射,且故是G到的同

6、态满射.根据同态基本定理,命题得证.定理7(第二同构定理)设H≤G，KG,则H∩KH,且HK/KH/H∩K.推论设H,K是G的两个不变子群,且KH,则H/KG/K,且G/H(G/K)/(H/K).