近世代数课件--2.11-同态与不变子群

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1、§11.同态与不变子群11.1自然同态11.2同态映射的核11.3同态基本定理11.4子群的同态像和逆像不变子群，商群与同态映射之间存在几个极端重要的关系．知道了这几个关系，我们才能看出不变子群和商群的重要意义．11.1自然同态定理１一个群同它的每一个商群同态．证明我们规定到的一个法则:这显然是到的一个满射．并且,对于的任意两个元和来说，所以它是一个同态满射．证完．上述称为自然同态.由群的一个子群可以推测整个群的性质．假如我们有一个不变子群，就同时有两个群可以供我们利用，一个是本身，另一个是商群．现在定理１又告诉我们，与同态，这样帮助推测的性质．在一定意义之下，定理１的逆定理也是对的．

2、11.2同态映射的核定义假定是一个群到另一个群的一个同态满射．的单位元在之下的所有逆象所作成的的子集叫做同态满射的核,记为,即:．记,它有以下性质:(1)是不变子群(2)(3)(4)证明:1.分两步1)是子群2),对于任意2.3.同学自行给出.4.同学自行给出.11.3同态基本定理定理２假定和是两个群，并且同态，那么这里是同态满射的核.证明:证明的关键点是构造一个同构映射(启发:1.必然联想到2.离同构有多远?3.写出)可以证明是一个与间的同构映射．因为：1)无歧义，这就是说，在之下的一个元素只有一个唯一的象；2)是单映射.上面的过程可逆.3)是满射.给了的一个任意元，在里至少有一个元

3、满足条件，由定义，这就是说，是到的满射；4)保持运算综上所述,证完定理１告诉我们，一个群和它的一个商群同态，定理２告诉我么，抽象地来看，只能和它的商群同态，所以我们可以说，定理２正是定理１的反面．我们知道，当群与群同态的时候，的性质并不同的完全一样．但定理２告诉我们，这时我们一定找得到的一个不变子群，使得的性质和商群的完全一样．从这里我们可以看出，不变子群和商群的重要意义．11.4子群的同态像和逆(原)像回忆一个子集关于映射的像与逆像定义假定是集合到集合的一个映射．1.是的一个子集,称为在之下的象，它刚好包含所有的元在之下的象．2.是的一个子集,在之下的逆象刚好包含所有中在之下的像属于

4、的元.定理３假定和是两个群，并且与同态．那么在这个同态满射之下的（ⅰ）的一个子群的象是的一个子群；（ⅱ）的一个不变子群的象是的一个不变子群．证明我们用来表示给定的同态满射（ⅰ）假定，是的两个任意元，那么有使得，那么在之下，(??)(由于是子群，，因此由于是的在之下的象，)这样，是的一个子群．（ⅱ）是的一个不变子群，由（ⅰ），我们知道是的一个子群．假定是的任意元，是的任意元，而且在之下，(??)是的一个不变子群．证完．定理４假定和是两个群，并且与同态．那么在这个同态满射之下的（ⅰ）的一个子群的逆象是的一个子群；（ⅱ）的一个不变子群的逆象是的一个不变子群．证明我们用来表示给定的同态满射．（

5、ⅰ）假定，是的两个任意元，并且在之下，，，我们需要证明.注意由于是的逆象，因而，,进一步(??),即:所以．这样，，是的一个子群．（ⅱ）既是的一个不变子群，由（ⅰ），我们知道是的一个子群．假定是的任意元，是的任意元，并且在之下，，我们需要证明,注意所以．这样，，是的一个不变子群．证完．注:同态满射的核是不变子群，这一件事实显然是定理４（ⅱ）的一个特例．作业:P79:2,3,4