正规子群与商群.ppt

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1、§2.2正规子群与商群(2.2NormalSubgroupandQuotientGroup)前面我们已经看到，一个群G的子群H的左陪集aH与右陪集Ha不一定相等，当aH＝Ha时，具有此种特性的子群H叫正规子群或不变子群。正规子群对刻画群的性质有十分重要的作用，是非常重要的子群。2.2.1正规子群(不变子群)(NormalSubgroup)定义:设H≤G，a∈G，若aH＝Ha，则称H为G的正规子群(不变子群)，记做HG。例1.对称群S3的子群H={(1)(123)(132)}是它的正规子群，而子群{(1)(12)}及{(1)(13)}，{(1)(2

2、3)}都不是它的正规子群。例2.任意群G的两个平凡子群G和{e}都是G的正规子群。G的不等于G的正规子群称为G的真正规子群。若G≠{e}，但G中除G和{e}外无其它正规子群，则称G为单群。例3.交换群G的任意子群H显然都是正规子群。例4.群G中所有与G的任意元能够交换的元构成G的一个正规子群。这是G的一个重要的正规子群，叫做G的中心，记做C(G)C(G)={x

3、x∈G，xa=ax，a∈G}。例5.群G中指数为2的群必为正规子群。事实上，设H≤G，[G:H]=2，取a∈GH，则H∩aH=φ，H∩Ha=φ，又G=H∪aH，且G=H∪Ha，由陪集性质得

4、aH=GH=Ha。∴HG2.2.2正规子群的性质(PropertiesofNormalSubgroup)定理:设H是G的子群，则以下几个命题是相互等价的。a∈G，有aH=Ha（即HG）a∈G，h∈H，有aha-1∈Ha∈G，有aHa-1Ha∈G，有aHa-1=H证明:(1)(2)：a∈G，h∈H，有ah∈Ha，推出ah=h1a，所以aha-1=h1∈H(2)(3)：aha-1∈H，得到aHa-1H(3)(4)：a∈G，有aHa-1H，也有a-1HaH;又h∈H，有aha-1=h1，∴h=ah1a-1∈aHa-1，

5、∴HaHa-1，∴aHa-1=H(4)(1)：aHa-1=H，得(aHa-1)a=Ha，aH=Ha例.考虑4次对称群S4，令K4={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}，则易证K4是S4的一个子群，而且是正规子群。但H={(1)，(124)，(142)}是S4的子群，不是正规子群。正规子群还有以下性质:(1)设AG，BG，则A∩BG，ABG(2)设AG，B≤G，则A∩BB，AB≤G(3)设AG，BG，且A∩B={e}，则a∈A，b∈B，有ab=ba2.2.3商群(QuotientGroup)设HG

6、，则G关于H的左陪集的集合与右陪集的集合相等，记做G/H。G/H={aH

7、a∈G}={Ha

8、a∈G}定义由H确定的G中的元素间的等价关系～为同余关系：a～ba-1b∈Ha≡b(modH)则每一个陪集记做=aH，称为模H的一个同余类，故G/H={

9、a∈G}。定理:设HG，则G/H对子集乘法构成群，称为G关于H的商群。证明:不难证明子集乘法:aH，bH∈G/H，aH·bH={ah1bh2

10、h1，h2∈H}是G/H中的一个二元运算(封闭性，唯一性，结合律)。且G/H中有单位元H:aH∈G/H，aH·H=H·aH=aH。又任意aH∈G/H，有逆元a

11、-1H。故G/H关于子集乘法构成群。例:在(Z，+)中，Hm=是正规子群，Z/Hm=Z/(m)={}，即整数模m的同余类群。一般地，G/H也称为G模H的同余(剩余)类群。根据正规子群和商群的定义及性质不难得到：推论1设HG，则⑴商群G/H的单位元是eH(=H)；⑵aH在G/H中的逆元是a-1H.推论2设G为交换群，H是G的子群，则商群G/H也是交换群。推论3有限群G的商群G/H的阶是G的阶的因子。End