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1、浅谈正规子群与理想一、正规子群是群论的核心部分，对刻画群的性质有十分重要的作用.下面给出正规子群的定义：定义：一个群G的一个子群N叫做一个正规子群，假如对G的每一个元d来说,都有Na=ciN・例1、交换群G的任意子群H都是G的正规子群。因为对任意a^G，有aH={ahhe.H}={haheH}=Ha・由于正规子群仅要求G的两个形如aH与屁的子集相等，这与G中任何两个元素可交换，即ab=ba,是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.理想的定义：设/是环/?的一个非空子集，如果(1)对任意a,beI,有a-bwI(2)对任意gw/,任意氏R,有ar,raeR则称/是环/?的一个理想.
2、由于(1),一个理想是一个加群。由于(2),/对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环，但(2)不仅要求/的两个元的乘积必须在/里，而且进一步要求，I的一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在I里.例1、在整数环Z中厶={2neZ}=2Z,厶={aneZ}=aZ,(cieZ)，贝9I,,12是Z的理想.二、下面我们给出正规子群与理想性质的比较(一)性质设H是G的子群，则以下几个命题是互相等价的：(1)对任意gwG,有aH=Ha(2)对任意awG,任意的处H,有aha{gH(3)对任意gwG,有aHa~]cH(4)对任意aeG有aHa}=H・证明：⑴=>(2):对任意aeG
3、,任意的heH,有aheHanah=hxanaha~]=h}EH(2)=>(3):aha~}gH,推出aha~xcH(3)=>(4)由对任意的cieG,有ahaxcH,因而也有，即a'Ha^H•故对任意的hwH,Wa~]ha=h]f以h=叭。一'eciHcT',得Hcahax,故aHa~l=Hn(l)例：则G对于矩阵的乘运算做成一个群，且1丿/-1(-1一1、rrsr-rs<01丿<01><0
4、/wQ}，容易验证H是G的一个子群。因为对任意的1r<0(rs、(iq(rs、-1(rrt+s^,1_厂-1、(1灯、、oL〔oi丿,01丿<01丿,01丿<0L有wH得H是G的正规子群(这样
5、验证止规子群要比利用其他条件方便些).说明：当我们要检验一个子群是否是正规子群时，可用4条件Z中的任何一个。通常用条件比(2)较方便。因为它比其他三个条件更具操作性。但对于理想的判定,通常用定义比较方便.2、(1)G的正规子群H的正规子群K未必是G的正规子群例：设G={；则G对于矩阵的乘法运算做成一个群，且令K={3<1令吧0f]teQ}由上面的例子可知H是G的正规子群.1丿1^6Z},容易验证K是H的一个子群.所以aHa}=Ha(aHcT')a=HadciH=Ha.八<1£+/、H1,,01;<01><01；,01丿01尸弘有:由于对任％所以H是一个交换群，从而得H的任意子群必是正
6、规子群。所以K也是H的正规子群。但是，K不是的G正规子群，例如，我们取(1)gk,1.01丿‘0.51严,P.51)1)'0.5-1<10.5><01丿<01丿3<01>电k・(2)环的理想的理想未必是环R的理想解,想.ab、ccl)a,b,c,deZ},(2k2k、={1；「伙乂2,心，心wZ}是环7?的理二心2k4j"2绚4偽丿M={402，。3，。4WZ}是/的一个理想，但M不是/?的理想.我们取矩阵fJ0、0>3、两个正规子群的交集还是正规子群证明：设叫,心是群G的两个正规子群，且“工n2n}flyh0,设n=n&N2°由题意可知存在nwN,贝wN、，nwN?,对丁
7、•任意aeG,又因为"户他是群G的正规子群。所以ana''gTV,,cmcT'wN?,ancT*NCN?=N・所以N=N^N2是群G的正规子群.推论：群G的若干个止规子群的交仍是止规子群.环R的两个理想的交仍是环R的理想.证明：设厶,厶是环/?的两个理想。再设1=1^12(1)对于,则6Z,/?g/2.乂因为人,厶是环尺的两个理想，所以a-heI{,a-he12贝lj,a-hEI.(2)aw/,则aw人，ae12,对于任意rwR,有arE/p/2,rae/p/2・所以are厶门厶，sw/iA/2•即cir,ragI.所以根据理想的定义，/=/tA/2是环尺的理想.推论：环R的若干个理
8、想的交仍是环R的理想.4、群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群.证明：(1)设N是G的正规子群，H是G的子群，任取nheNH(neNJieH))由于hN=Nh，故nhwNh=hNuHN,从而NHjHN•同理可证HNuNH,因此HN=NH,所以册是群G的子群.(1)设7V是群G的正规子群，K是群G的正规子群，由上式知7VK是群G的子群，对于任意awG,有d(NK)=(ciN)K=(Mz)K=N(aK)=
