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1、浅谈正规子群与理想一、正规子群是群论的核心部分，对刻画群的性质有十分重要的作用.下面给出正规子群的定义：定义：一个群G的一个子群N叫做一个止规子群，假如对G的每一个元。来说,都有Na=aN・例1、交换群G的任意子群H都是G的正规子群。因为对任意awG，有aH={ah/?gH}={haheH}=Ha.由于正规子群仅要求G的两个形如与Ha的子集相等，这与G中任何两个元素可交换，即ab=ba,是有区别的，关于这一点，要引起我们的注意.理想的定义：设/是环7?的一个非空子集，如果⑴对任意Q,处/,有a-
2、beI⑵对任意aw任意厂丘R,有ar,raeR则称/是环/?的一个理想.由于(1),一个理想是一个加群。由于(2),/对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环，但(2)不仅要求/的两个元的乘积必须在/里，而且进一步要求，I的一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在I里.例1、在整数环Z中I}={2neZ}=2Z,I2={aneZ}=aZ,(aeZ),则I,,I2是Z的理想.二、下而我们给出正规子群与理想性质的比较(一)性质1：设H是G的子群，则以下几个命题是互相等价的：⑴对任意czwG
3、,有aH=Hu(2)对任意owG,任意的/zwH,有aha']gH(3)对任意awG,有aHa[cH(4)对任意awG有aHa}=H・证明：(1)=>(2):对任意gwG,任意的heH,有ahgHa=>ah=h}a=>aha]H(2)n(3):aha}gH,推出°加“匸H⑶二(4)由对任意的aeG,有ahaxcH,因而也有，即cr]Ha^H.故对任意的heH,有a~]ha=h}，所以h=ah}a~]eaHa~],得Hcahax,故aHa~]=H(4)n(1)所以aHa1=Hn(aHal)a=Hada
4、H=Ha.例：设G={(；心0},则G对于矩阵的乘运算做成一个群，且81丿—〔01,令H={：什
5、虫。，容易验证//是G的一个子群。因为对任意的I。1丿)“八gG,GW,/frs'FS、-1(r?7+s'<1灯、,01丿,01丿,01丿,01丿,01丿,01丿有wH得H是G的正规子群(这样验证止规子群要比利用其他条件方便些)・说明：当我们要检验一个子群是否是正规子群时，可用4条件之中的任何一个。通常用条件比(2)较方便。因为它比其他三个条件更具操作性。但对于理想的判定,通常用定义比较方便.2、(1
6、)G的正规子群H的正规子群K未必是G的正规子群例：设G={「昇仔0},则G对于矩阵的乘法运算做成一个群，且I()1令K={3/，令H={<1teQ}由上而的例子可知H是G的正规子群.eZ}9容易验证K是H的一个子群.由于对任意fl■打八<1T,01,,01；、°1丿,01丿,01,所以H是一个交换群，从而得H的任意子群必是正规子群。所以K也是H的正规子群。但是，K不是的G正规子群，例如，我们取咼"0.51、U1、"0.51、-1<10.5、,01丿、01丿,01丿,01,(2)环R的理想的理想
7、未必是环R的理想(cib、解，矩阵环R={za^c,deZ},ca(2k.{h2k.23伙&，他人wZ}是环7?的理"24'想•呵4；4：：问沁®"是/的-个理想，但"是R的理想.我们取矩阵补wM,(00丿(1]了20、‘20、J1丿<00丿<20丿取『乍&U1丿电M3、两个正规子群的交集还是正规子群证明：设NZ是群G的两个正规子群，且“HN2N{DR工0，设N=MA他。由题意可知存在neN,贝ij/?GNj,/?gN.2,对于任意aeG,又因为"，他是群G的正规子群。所以ana'1gN,,an
8、a'gN2,ana'1gTV,nN2=N.所以N=N}C[N2是群G的正规子群.推论：群G的若干个止规子群的交仍是止规子群.环R的两个理想的交仍是环R的理想.证明：设人,厶是环/?的两个理想。再设1=1^1.(1)对于a,b",则a,比人，a.be人・乂因为人,厶是环尺的两个理想，所以a-he,a-heI2贝U,a-heI・(2)aeI，贝ijg,ae12，对于任意厂w/?,有areI^I2,rae/p/2•所以are厶A/.,rae人Cl厶.即ar,ra€1.所以根据理想的定义，I=1^12是环R
9、的理想.推论：环/?的若干个理想的交仍是环/?的理想.4、群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规子群.证明：(1)设N是G的正规子群，H是G的子群，任取nhwNHgN,hwH),由于hN=Nh，故nheNh=hN^HN,从而NHuHN•同理可证HNjNH,因此HN=NH,所以NH是群G的子群.(2)设N是群G的正规子群，K是群G的正规子群，由上式知WK是群G的子群，对于任意qwG,有a(NK)=(dN)K=(Na)K=N(qK)=
