《重积分的应用》word版

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1、第四节重积分的应用1求半径为a的球的表面积。解取上半球面方程为z=，则它在x0y面上的投影区域D=。由=,=得=因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D1=(0

2、值（地球半径R=6400km）解取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z轴，建立坐标系，如图9-40所示。通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为a的圆锥面所截得的部分。的方程为其中是曲面在xOy面上的投影区域，利用极坐标得由于，代入上式得由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。3．求位于两圆和之间的均匀薄片的质心（图9-41）解因为闭区域D对称于y轴，所以质心C必位于y轴上，于是再按公式计

3、算。由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A。再利用极坐标计算积分：因此所求质心是C类似的，占有空间有界闭区域、在点处的密度为（假定在上连续）的物体的质心坐标是其中4．求军于半球体的质心。解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设求半径为a，则半球体所占空间闭区域显然，质心在z轴上，故其中为半球体的体积因此，，质心为5．求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量）对于其直径边的转动惯量。解取坐标系如图9-42所示，则薄片所占闭区域而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴

4、的转动惯量。其中为半圆薄片的质量。类似的，占有空间有界闭区域，在点处的密度为（假定在上连续）的物体对于x，y，z轴的转动惯量为6．求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量。解取球心为坐标原点，z轴与轴重合，又设求的半径为a，则球体所占空间闭区域所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量为其中为球体的质量。7．设半径为R的匀质球占有空间闭区域。求它对位于处的单位质量的质点的引力。解设球的密度为，由球体的对称性及质量分布的均匀性知，所求引力沿z轴的分量为其中为球的质量。上述结果表明：均匀球对球外一点的如同球的质

5、量集中于球心时两质点间的引力。第四节含参数变量的积分1．设，求解应用尼茨公式，得2．求解因为所以这里函数在矩形R上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有3．计算定积分解考虑含参变的积分所确定的函数显然，。根据公式（4）得把被积函数分解为部分公式得到于是上式在上对积分得到即I=从而I