《重积分及其应用》word版

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1、第九章重积分及其应用 一、一、       基本内容 （一）二重积分1.二重积分的定义2.二重积分的计算（1）为型区域（2）为型区域（3）极坐标下的二重积分计算方法3.二重积分的应用利用二重积分，我们可以求解以下问题：(1)(1)  空间立体的体积；(2)(2)  曲面的面积；(3)(3)  平面薄板的质量；(4)(4)  平面薄板的重心；(5)(5)  平面薄板的转动惯量；(6)(6)  平面薄板对质点的引力．（二）三重积分1.三重积分的定义2.三重积分的计算（1）空间直角坐标系下的三重积分计算（2）利用柱面坐标计算三重积分（3）利用柱面坐标计算三重积分 二、练习题 9.1改变下列二次积分

2、的积分次序：（1）．解：．（2）．解：．（3）．解：．9.2计算下列二重积分：（1），其中由和所围．解：．（2），其中由，及轴所围．解：．（3），其中是由，及所围．解：由对称性知．所以原式．（4），．解：．9.3计算下列三重积分：（1），．解：由对称性知．所以原式．（2），，．解：．（3），．解：原式．（4），．解：令，得在面的投影区域为，用柱面坐标计算：．9.4设立体由，和围成，体密度，求：（1）此立体的重心；（2）此立体对坐标轴的转动惯量；（3）此立体对原点处单位质点的引力．解：由对称性得．．．．所以．（2）．因为,所以．．（3），由对称性得．，其中，．所以．所以引力．9.5设在上连续，

3、证明：．其中．证明:．交换上面的积分次序得:． 三、测验题 1.计算，．解：由对称性知．所以．2.计算，其中由和所围成．解：．由对称性知．．其中，．所以．3.计算，与的公共部分．解：．4.计算．解：交换积分次序：．5.计算，．解：．6.求，其中可导，且．解：．7.求的形心，其中，．解：由对称性知．．所以形心为．