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1、4.6二重积分及其简单应用(一)二重积分及其简单应用【二重积分的概念】1.曲顶柱体非负且连续函数.设是定义在有界闭区域上我们称以曲面为顶,面上的区域为底,以平行于轴且沿着底面区域的边界曲线的直线围成的立体称为曲顶柱体.二重积分及其简单应用2.曲顶柱体的体积特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.底面积高柱体体积=二重积分及其简单应用求曲顶柱体的体积的步骤：的面积为①分割:将区域任意分割成个小区域：第块小区域二重积分及其简单应用②求近似代替:任取一点③求和:二重积分及其简单应用④取极限:令的直径,则3.二重积分的概
2、念设是定义在有界闭区域上的有界函数.将任意分成个小区域区域的面积.其中表示第块小在每个小区域上任取一点作乘积并作和令当时,和式的极限存在.且其值与的分法和点的选法无关,并称此极限值为在D上的二重积分.记作即二重积分及其简单应用其中“”称为二重积分符号,D称为积分区域,二重积分及其简单应用称为被积函数,面积元素,d称为称为积分和.和式称为积分变量.二重积分及其简单应用说明:1、定义中对区域D的划分是任意的.2、若在闭区域D上连续,则函数在该区域上可积.3、在直角坐标系中,D一般用平行于坐标轴的直线网来划分区域
3、D，则面积元素为二重积分及其简单应用故二重积分可表示为4.二重积分的几何意义①当被积函数大的体积．二重积分是柱体于零时.二重积分及其简单应用②当被积函数小于零时.的体积的负值．二重积分是柱体③当被积函数有正有负时.二重积分的值就等于各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和.不等式确定的闭区域，设,其中是由练习则必有（）B．C．D．A．二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用【二重积分的性质】性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号外面,即为常数性质1有限个函数代数和的二重积分等于各个函数二重积分的代数和,二重积分及其简
4、单应用即性质3若积分区域被一曲线分成两个部分区域和则在上的二重积分等于在和上二重积分的和.即二重积分及其简单应用性质4若在区域上,且的面积为则性质5若在区域上,恒有则二重积分及其简单应用的大小.其中是三角形闭区域,三比较积分与例1个顶点分别为解如图所示三角形斜边方程在内有二重积分及其简单应用由性质得练习设D是第一象限内的一个有界闭区域，且若则的大小顺序为（）B．C．D．A．二重积分及其简单应用性质6设分别是函数在上的为的面积,则最大值和最小值,例2不作计算，估计的值.其中为圆域解：如图所示，积分域的边界为圆周区域
5、的面积为在上有即二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用性质7若函数在有界闭区域上连续，为的面积，则在内至少存在一点使得【二重积分的计算】二重积分及其简单应用类型1积分区域是边平行于坐标轴的矩形域设二元函数是定义于上的连续函数,则二重积分一、利用直角坐标计算二重积分注1、二重积分的计算就是分别对变量和作两次定积分的计算.2、化二重积分为二次积分的关键是:选择积分次序和确定积分上、下限即积分区域D是一矩形时,其积分次序可交换二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用3、几种写法的比较⑴、已知:比较二重积分及其简单应
6、用⑵、已知:比较二重积分及其简单应用例3计算其中为矩形：解法一：——先对再对的累次积分.——对积分时要固定为常数.二重积分及其简单应用解法二：——先对再对的累次积分.——对积分时要固定为常数.二重积分及其简单应用说明:1、若函数可积，且，则如二重积分及其简单应用2、有的题用两种方法均可,且难移程度相同,但有的题只能对一种可行,另一种则不行或难移程度不同.例4计算积分其中D是正方形区域：解:二重积分及其简单应用3、计算其中D是练习1、计算积分其中D是正方形区域：2、计算其中D是矩形：二重积分及其简单应用解:二重积
7、分及其简单应用二重积分及其简单应用注:㈠、利用直系计算二重积分的步骤：（1）画出积分区域的图形,求出边界（3）确定积分限，化为二次定积分（2）根据积分域类型,确定积分次序（4）计算两次定积分，即可得出结果曲线交点坐标二重积分及其简单应用㈡、积分限确定法:域中一线插,域边两线夹，内限定上下，外限依靠它.二重积分及其简单应用此时D称为Y—型区域.若积分区域D用来表示.类型2二重积分及其简单应用Y型区域的特点：区域边界相交不多于两个交点.计算公式：穿过区域且平行于轴的直线与二重积分及其简单应用例5围成的第一象限的区域计
8、算积分其中D由和解:解方程组如图所示xy0y=x+2y=x2112解得交点二重积分及其简单应用二重积分及其简单应用练习1、计算积分其中D由围成的区域.围成的区域.2、计算积分其中D由二重积分及其简单应用解:1、如图解方程组解得交点二重积分及其简单应用2、如图解方程组解得交点二重积分及其简单应用若积分区域D用来表示.类型3此时D称为X—型区域.二重积分及其简单应用X型区域
