高二 定积分及其简单应用

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1、定积分及其简单应用定积分[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．②一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．3．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：x2dx＝x3＝.答案：4．dx＝________.解析：由定积分的几何意义可知，dx表示

2、单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以dx＝π.答案：π例1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x2＋2x＋1)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)x(x＋1)dx；(4)dx；(5)sin2dx.[解答]　(1)(x2＋2x＋1)dx＝x2dx＋2xdx＋1dx＝＋x2＋x＝.(2)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝(－cosx)－sinx＝2.(3)x(x＋1)dx＝(x2＋x)dx＝x2dx＋xdx＝x3＋x2＝＋＝.(4)dx＝e2xdx＋dx＝e2x＋lnx＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.(5)

3、sin2dx＝dx＝dx－cosxdx＝x－sinx＝－＝.变式练习1．求下列定积分：(1)

4、x－1

5、dx；(2)dx.解：(1)

6、x－1

7、＝故

8、x－1

9、dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝＋＝＋＝1.(2)dx＝

10、sinx－cosx

11、dx＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝－1＋(－1＋)＝2－2.例2、　dx＝________.[解答]　dx表示y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为

12、个圆，其面积为.∴dx＝.在本例中，改变积分上限，求dx的值．解：dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以dx＝.　　　　变式练习2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝(cost－sint)dt(x>0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝sindt＝cos＝cos－cos＝sinx＋cosx－1＝sin－1≤－1，当且仅当sin＝1时，等号成立．答案：－1归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图

13、形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．四、拓展延伸能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、(2012·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)A.　　　　B．4C.D．6[解答]　由y＝及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为(－x＋2)dx＝＝.[答案]　C若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？解：如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为f(x)

14、dx＝dx＋(－x＋2)dx＝x＋＝.　　　　变式练习3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为(　　)A.　　B.　　C.　　D.解析：选D　由⇒x＝或x＝－(舍)，所以阴影部分面积S＝dx＋dx＝＋＝.定积分在物理中的应用例2、列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[解答]　a＝－0.4m/s2，v0＝72km/h＝20m/s.设ts后的速度为v，则v＝20－0.4t.令v＝0，即20－0.4t＝0得t＝50(s)．设列

15、车由开始制动到停止所走过的路程为s，则s＝vdt＝(20－0.4t)dt＝(20t－0.2t2)＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50s和进站前500m处开始制动．变式练习4．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为(　　)A．44J　　　　　B．46JC．48JD．50J解析：选B　力F(x)做功为10dx＋(3x＋4)dx＝10x＋＝20＋26＝46.例3、(2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函