高中培优讲义定积分及其简单应用

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1、衡阳个性化教育倡导者第十三讲定积分及其简单应用教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分f(x)dx的几何

2、意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①kf(x)dx＝kf(x)dx.②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.(4)．定积分[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F

3、′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．基础练习1.dx等于(　　)A．2ln2　B．－2ln2C．－ln2D．ln2解析：选D　dx＝lnx＝ln4－ln2＝ln2.2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为衡阳个性化教育倡导者(　　)A.B.C.D.解析：选A　S＝(t2－t＋2)dt＝＝.3．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯

4、形的面积为________．解析：x2dx＝x3＝.答案：4．dx＝________.解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以dx＝π.答案：π二、例题辨析推陈出新例1、利用微积分基本定理求下列定积分：(1)(x2＋2x＋1)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)x(x＋1)dx；(4)dx；(5)sin2dx.[解答]　(1)(x2＋2x＋1)dx＝x2dx＋2xdx＋1dx＝＋x2＋x＝.(2)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝(－cosx)－sinx＝2.(3)x(x＋1)dx＝(x2＋x)dx＝

5、x2dx＋xdx＝x3＋x2＝＋＝.(4)dx＝e2xdx＋dx＝e2x＋lnx＝e4－e2＋ln2－ln1＝e4－e2＋ln2.(5)sin2dx＝dx＝dx－cosxdx＝x－sinx＝－＝.变式练习衡阳个性化教育倡导者1．求下列定积分：(1)

6、x－1

7、dx；(2)dx.解：(1)

8、x－1

9、＝故

10、x－1

11、dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝＋＝＋＝1.(2)dx＝

12、sinx－cosx

13、dx＝(cosx－sinx)dx＋(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx)＋(－cosx－sinx)＝－1＋(－1＋)＝2－2.例2、　dx＝________.[解答]　dx表示y

14、＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为个圆，其面积为.∴dx＝.在本例中，改变积分上限，求dx的值．解：dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以dx＝.　　　　变式练习2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝(cost－sint)dt(x>0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为f(x)＝sindt＝cos＝cos－cos＝sinx＋cosx－1＝sin－1≤－1，当且仅当sin＝1时，等号成立．答案：－1三、归纳总结

15、方法在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．衡阳个性化教育倡导者归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出